মডিউলের শিরোনাম: ইউজিং বেসিক ম্যাথাম্যাথিক্যাল কনসেপ্ট।
১। অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা এবং দশমিক সংখ্যায় মৌলিক হিসাব করতে পারবেন।
২। ভগ্নাংশ এবং সতকরার সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।
৩। অনুপাত ও সমানুপাতের সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।
৪। সমীকরণের সাহায্যে পরীসীমা, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন পরিমাপ করতে পারবেন।
৫। পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতির সমতা আনায়ন করে হিসাব করতে পারবেন।

বিষয়বস্তু

অ্যাসেসমেন্ট ক্রাইটেরিয়া

শর্তসমূহ

প্রশিক্ষণার্থীদের অবশ্যই নিমণলিখিত উপকরণ সরবরাহ করতে হবে-

শিখনফল : অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা এবং দশমিক সংখ্যা ব্যবহার করে মৌলিক হিসাব করতে পারবেন।

উদ্দেশ্য

অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যার যোগ এবং বিয়োগ করতে পারবেন।

অঋণাত্নক পূর্ণ সংখ্যা পরিচিতি

সংখ্যা পড়া এবং লেখা

দশমিক সংখ্যা লিখতে ১০টি অঙ্ক ব্যবহার করা হয়। ০,১,৩,৪,৫,৬,৭,৮, ও ৯- এই  ১০ টি  অঙ্ক ব্যবহার করে যেকোনো সংখ্যা লিখতে হয়। অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা লিখতে এই  অঙ্ক গুলো ব্যবহার করা হয়। যেমন: ১,২,৩,৪,৫,৬,৭,৮,৯,১০,১১,১২,১৩ ইত্যাদি অঋণাত্নক পূর্ণ সংখ্যা।

অঋণাত্নক পূর্ণ সংখ্যায় প্রতিটি অঙ্কের  স্থানীয়মান রয়েছে। সংখ্যায় অঙ্কের স্থান উলে-খকরে স্থানীয় মানের তালিকা নিচে দেয়া হলো-   

উদাহরণ ১. পূর্ণ সংখ্যার অঙ্কের স্থানীয়মান নির্ণয়

  (ক)  ৪২ পূর্ণ সংখ্যাটিতে ২ একক স্থানে এবং ২ এর স্থানীয়মান ২ একক।

  (খ)  ২৯ পূর্ণ সংখ্যাটিতে ২ দশক স্থানে এবং ২ এর স্থানীয়মান ২ দশক।

  (গ)  ২৮১ পূর্ণ সংখ্যাচিতে ২ শতক স্থানে এবং ২ এর স্থানীয়মান ২ শতক।

অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যার যোগ

দুই বা ততোধিক সংখ্যার সমষ্টি বা মোট বের করার পদ্ধতিতে যোগ বলে।

যার সাথে বা যে সংখ্যার সাথে যোগ করা হয় তাকে যোজন বলে। যাকে অর্থাৎ যে সংখ্যাটিকে যোগ করা হয় তাকে যোজ্য বলে। আর যোগ করে যা পাওয়া যায় তাকে যোগফল বলে।
যোগের বিনিময়
 
তাহলে দেখা যাচ্ছে যে,  ২+৪=৪+২

যোজ্য ও যোজনের স্থান পরিবর্তন করলে যোগফল অপরিবর্তিত থাকে। এটাকে যোগের বিনিময় বিধি বা নিয়ম বলে।

একাকিত্ব অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যার যোগ

একাধিক সংখ্যা যোগ করার সময় প্রথমে একটির নিচে আরেকটি সংখ্যা কলাম আকারে সাজিয়ে লিখতে হবে। তারপর উপর দিক থেকে ১ম সংখ্যার সাথে ২য় সংখ্যা যোগ করতে হবে।

এরপর প্রথম ২টি সংখ্যার যোগফলের তৃতীয় সংখ্যাটি যোগ করতে হবে।

তারপর প্রথম তিনটি সংখ্যার যোগফলের সাথে ৪র্থ সংখ্যাটি যোগ করতে হবে। এভাবে সংখ্যা শেষ না হওয়া পর্যমত্ম যোগ করতে হবে।

উদাহরণ- ১ : ২,৫,৬,১ এবং ৪ সংখ্যাগুলো যোগ কর।

সমাধান

যদি সংখ্যাগুলো ২ বা ২ এর অধিক অঙ্ক বিশিষ্ট হয় তাহলে সংখ্যাগুলোকে প্রথমে কলাম আকারে সাজাতে হবে। এমনভাবে সাজাতে হবে যেন একক স্থানীয় অঙ্কগুলো একই কলাম বরাবর থাকে। একইভাবে দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্কগুলো একই কলাম বরাবর থাকবে। এভাবেই অঙ্কের সংখ্যা যতই হোক স্থানীয় মান অনুযায়ী কলাম আকারে সাজিয়ে লিখে যোগ করতে হবে।

উদাহরণ- ২: ৪১০, ২১, ১০৬ এবং ৫২ কতকগুলো যোগ করূন।

সমাধান:  প্রথমে সংখ্যাগুলো কলাম আকারে সাজাই-

প্রথমে একক স্থানীয় অঙ্কগুলো যোগ করতে হবে। যোগফল একক স্থানীয় অঙ্কের কলাম বরাবর নিচে লিখতে হবে। একইভাবে দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্কগুলো পর্যায়ক্রমে যোগ করতে হবে। তারপর যোগফল দশক ও শতক স্থান বরাবর নিচে লিখতে হবে। যেমন-

তাহলে উপরে প্রদত্ত চারটি সংখ্যার যোগফল ৫৮৯।

হাতে রেখে যোগ

একই কলামের অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ এর বেশি হলে যোগফলের একক স্থানীয় অঙ্ক ঐ কলাম বরাবর নিচে বসবে। দশক স্থানীয় অঙ্ক হাতে থাকবে। হাতের অঙ্ক দশক স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফলের সাথে যোগ হয়ে একইভাবে একক স্থানের অঙ্কটি দশক স্থানীয় অঙ্কের কলাম বরাবর নিচে বসবে। এভাবেই হাজার বা ততোধিক স্থান পর্যমত্ম যোগ করতে হবে।

উদাহরণ-৩

হাতে রেখে ৪৭ এবং ৩৫ যোগ করম্নন।

সমাধান: প্রথমে সাজিয়ে লিখি

উদাহরণ- ৪

৬৯১, ৩৪৬১, ৩২, ৪ এবং ১৭ সংখ্যাগুলো যোগ করুন।

সমাধান

সংখ্যাগুলোকে কলাম আকারে সাজিয়ে যোগ করি।

ধাপ-১

ধাপ-২

ধাপ-৩

ধাপ-৪]

তাহলে ৬৯১ + ৩৪৬১ + ৩২ + ৪ + ১৭ = ৪২০৫।

কিছু শব্দ বা বাক্যাংশ আছে যা যোগ প্রক্রিয়ায় বা যোগ করাকেই বুঝায়। নিচে এর কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া হলো-

যোগ কর  ৫ এর সাথে ৩ যোগ কর  ৫+৩

 সমষ্টি   ৩ এবং ৯ এর সমষ্টি   ৩+৯

 দ্বারা বৃদ্ধি  ৬ দ্বারা ৪ বৃদ্ধি   ৪+৬

মোট   ৮ এবং ৩ মোট   ৮+৩

যোগ  ৫ যোগ  ১০    ৫+১০

অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যার বিয়োগ

বিয়োগ

দুইটি সংখ্যার পার্থক্য বা দুইটি সংখ্যার কোনটি বড় বা ছোট তা বের করার প্রক্রিয়া হলো বিয়োগ।

মনে করম্নন ,আপনার হাতে ৫০ ডলার আছে। সেখান থেকে একটি বার্গার ক্রয় করার জন্য ২০ ডলার খরচ হলো। তাহলে হাতে থাকলণ ৩০ ডলার।

এই অবশিষ্ট বা হাতে থাকা ৩০ ডলার দুটি ভিন্ন পদ্ধতিতে বের করা যায়। একটি হলো যোগ প্রক্রিয়া। আরেকটি হলো বিয়োগ প্রক্রিয়া।

প্রথমে আমরা দেখব যোগ প্রক্রিয়া

ডলার ২০ + ডলার ৩০ = ডলার ৫০।

এরপর দেখব বিয়োগ প্রক্রিয়া

 ডলার  ৫০ - ডলার ২০ = ৩০।

উপরের উদাহরণ ২ টি থেকে বোঝা যায় যে, যোগ প্রক্রিয়াকে বিয়োগে পরিবর্তন করা যায়। আবার বিয়োগ প্রক্রিয়াকে যোগে পরিবর্তন করা যায়। যোগের মতোই বিয়োগ প্রক্রিয়াকেও সংখ্যাগুলোর নাম আছে। যেমন-

 ৫০ - ২০ = ৩০, এখানে ৫০ হলো বিয়োজন। আর ২০ হলো বিয়োজ্য এবং ৩০ হলো বিয়োগফল।

বিয়োগের ক্ষেত্রে সংখ্যাগুলোকে কলাম আকারে সাজিয়েও বিয়োগ করা যায়। এক্ষেত্রে সংখ্যা দুইটির বিয়োজনকে উপরে লিখতে হয়। বিয়োজ্যকে লিখতে হয় তার নিচে। যাতে একক, দশক, শতক ইত্যাদি স্থানীয় অঙ্ক একই কলাম বরাবর থাকে। একক স্থানীয় অঙ্ক থেকে শুরম্ন করে পর্যায়ক্রমে দশকে ও শতক স্থানীয় অঙ্ক বিয়োগ করা হয়।

উদাহরণ-১:  ২ সংখ্যার বিয়োগ

উদাহরণ-২ : বিয়োগ করুন 

    ক) ৬৩  থেকে ১৮ বিয়োগ করম্নন।

এখানে একক স্থানীয় অঙ্ক ৮। এই ৮, ৩ অপেক্ষা বড়। তাই দশক স্থানীয় অঙ্ক ৬ বা ৬০ থেকে ১০ ধার করা করতে হবে।

সুতরাং ৬৩-১৮=৪৫। ১৮ এবং ৪৫ যোগ করে বিয়োগ সঠিক হয়েছে কিনা তা চেক করা যায়।

    খ)    ৬৯২ থেকে ৩৭৮ বিয়োগ করম্নন।

তাহলে বিয়োগফল -৩১৪

কিছু শব্দ বা বাক্যাংশ আছে যা বিয়োগ প্রক্রিয়াকে বুঝায়। যেমন-

উদাহরণ-৩

৫৬২ এবং ১৯৪ এর পার্থক্য নির্নয় করুন।

সমাধান

আমরা জানি, পার্থক্য মানে বিয়োগ অর্থাৎ ৫৬২ এবং ১৯৪ এর পার্থক্য মানে ৫৬২-১৯৪। তাহলে কলাম আকারে সাজিয়ে বিয়োগ করি।

তাহলে বিয়োগফল - ৩৬৮

উদাহরণ -৪ বিয়োগজন সংখ্যার শূন্য ‘০’ থেকে বিয়োগ

সমাধান

যদি দশক স্থানীয় অঙ্ক ‘০’ হয়, তাহলে শতক স্থানীয় কলাম থেকে ধার করতে হয়।

১।   নিচের যোগগুলো করুন।

     ক) ৩৫+২+৩২৭  + ১৬

     খ) ৯+৫+২২

     গ) ৮৩৬+৪১

     ঘ) ১০+৩৭+১

     ঙ) ৯২+৪৬

২। নিচের বিয়োগগুলো করুন 

    ক) ৭৬৯ থেকে ২৫২ ছোট

    খ) ৩২৮ থেকে ৭৪ বিয়োগ

    গ) ৬৩ বিয়োগ ২৯

    ঘ) ২১-৮

    ঙ) ৫২৬-৮৭

৩। নিচের সমস্যাগুলোর সমাধান করুন 

   ক)  জাতীয় পতাকা উত্তোলন অনুষ্ঠানে ১৬ জন বালক এবং ৭ জন বালিকা দেরিতে আসল। কতজন       পতাকা উত্তোলন অনুষ্ঠানে দেরি করল। 

   খ)  ২৫ জন প্রশিক্ষণার্থী নিয়ে প্রশিক্ষণ শুরু হলো। এর মধ্যে ৬ জন প্রশিক্ষণ কোর্সটি শেষ করে নি। তাহলে কতজন প্রশিক্ষণার্থী  গ্রাজুয়েট হলো?

    ঙ) ৪৩৯

৩। ক) ২৩

    খ) ১৯

অঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যার গুণ এবং ভাগ

উদ্দেশ্য - এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর সঠিক পদ্ধতি ব্যবহার করে গুণ এবং ভাগ করতে পারবেন।

গুণ

ধারণা

৩ সংখ্যাটিকে পর পর ৪ বার যোগ করলে ১২ হয়। যেমন-

৩+৩+৩+৩=১২

যোগের সংক্ষিপ্ত রূপই হলো গুণ। যে সংখ্যাটির সাথে গুণ করা হয় তা গুণ্য। যে সংখ্যাটি গুণ করা হয় তা গুণক। গুণ করে যা পাওয়া যায় তাই গুণফল।

গুণ প্রক্রিয়াকে × (ক্রস), .(ডট), () বন্ধনী চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

অন্যভাবে বলা যায় - ৩×৪=১২,  ৩.৪=১২, (৩) (৪) =১২

নোট : একাধিক অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যার গুণ করার সময় পর্যায়ক্রমে এবং হাতে রেখে গুণ করতে হয়।

উদাহরন-১ হাতে রেখে গুণ

ভাগ

ভাগ হলো গুণ প্রক্রিয়ার বিপরীত। ভাগ একটি প্রক্রিয়া যার মাধ্যেমে বের করা হয় ভাজক সংখ্যা, ভাজ্য সংখ্যাটির মধ্য কতবার আছে।

ভাগ করে যা পাওয়া যায় তাই ভাগফল। যেমন-

৬৩÷৭, এখানে ৬৩ এর মধ্যে ৭ আছে ৯ বার  --- (৯×৭=৬৩)   

ভাজ্য সংখ্যা ১০০ বা তার বেশি হলে পর্যায়ক্রমে ভাগ করতে হয়। ভাগ করে যা পাওয়া যায় তাই ভাগফল। নিচের উদাহরণ- ৪৬২÷৩ সতর্কতার সাথে লক্ষ করুন।

৪৬২ এর মধ্যে ৩ কতবার আছে তা বলা সহজ নয়। আবার ৩, ৪৬ এর মধ্যে কত বার আছে তাও বলা সহজ নয়। কিন্তু ৩,৪ এর মধ্যে কত বার আছে তা সহজে বলা যায়। কিন্তু বৃহত্তর সংখ্যাকে ধারাবাহিকভাবে ধাপে ধাপে ভাগ করতে হবে। (উপরে ধাপে ধাপে করে দেখানো হয়েছে)

ধাপ-১: যেহেতু ৪ এর মধ্যে ৩ আছে ১ বার। তাই ভাগফলে ৪ বরাবর উপরে ১ বসানো হয়েছে।

ধাপ-২: ৩ কে ১ দ্বারা গুণ করা হয়েছে। গুণফল ৩×১=৩। যা ৪ থেকে বিয়োগ করা হয়েছে।

ধাপ-৩: বিয়োগফল ১ এর সাথে ৬২&টসেছে। অর্থাৎ ১৬২ হয়েছে। ১৬২ এর মধ্যে ৩ কতবার আছে তা বলা       কঠিন। তাই ১৬ এর মধ্যে ৩ কতবার আছে তা বের করতে হবে।

ধাপ-৪: ১৬ এর মধ্যে ৩ আছে ৫ বার।এই ৫ ভাগফলের ৬ বরাবর বসানো হয়েছে।

ধাপ-৫: ৫ কে ৩ দ্বারা গুণ করা হয়েছে। ১৬ থেকে গুণফল ১৫ বিয়োগ করা হয়েছে।

ধাপ-৬: বিয়োগফল ১ এর সাথে ২ এসেছে। অর্থাৎ ১২ হয়েছে।

ধাপ-৭: ১২ এর মধ্যে ৩ আছে ৪ বার। ৪ কে ৩ দ্বারা গুণ করা হয়েছে। গুণফল ৩×৪=১২ হয়েছে। এই ৪ ভাগফলে ২ বরাবর উপরে বসেছে।

       [ ভাজ্য সংখ্যায় আর কোনো অঙ্ক না থাকায় এবং ভাগশেষ (০) শূন্য হওয়ায় নিঃশেষে বিভাজ্য হলো।] সুতরাং উত্তর হলো- ভাগফল ১৫৪ অথবা ৪৬২ এর মধ্যে ৩আছে ১৫৪ বার।

৪৬২ এর মধ্যে ৩ কতবার আছে তা বের করে একই ভাগ আরো সংক্ষিপ্তভাবে ও দূত করা যায়। ৪৬ এর মধ্যে ৩ আছে ১৫ বার। এভাবে ৪ টি ধাপে বাগ করা যায়। যেমন-

যখন দুইটি সংখ্যা নিঃশেষে বিভাজ্য হয় না। তখন ভাগ শেষে যা থাকে তাকে ভাগশেষ বলা হয়।

উদাহরণ:    ৪১ কে ৬ দ্বারা ভাগ করম্নন।

১। নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করুন

২। নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করুন

১।   ১. ৬৪৪

       ২. ৪৬,০২০

       ৩. ৯৮৬

       ৪. ২,৫৫০

       ৫. ১৬২

       ৬. ৩০

        ৭. ৮

        ৮. ৬৪

        ৯. ভাগফল ২৪ ভাগশেষ ৪

        ১০. ২৬

২।   ১. ৫৭৬

        ২. ১৩.৭৫ ডলার

        ৩. ৬৬ ডলার

        ৪. ১৯৫ ডলার

        ৫. ১১.৬৬ ডলার

দশমিক সংখ্যার যোগ এবং বিয়োগ

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর, দশমিক সংখ্যার যোগ এবং বিয়োগ বুঝতে এবং করতে পারবেন।

দশমিক সংখ্যা

পূর্ণসংখ্যার অংশকে প্রকাশ করার পদ্ধতি হলো দশমিক সংখ্যা। পূর্ণসংখ্যার সাথে দশমিক বিন্দু (.) বসিয়ে পূর্ণ সংখ্যার অংশকে লিখে প্রকাশ করা হয়।

উদাহরণ

৫.৮২ একটি দশমিক সংখ্যা। এর ৫ হলো পূর্ণ সংখ্যা। ৮২ হলো ভগ্নাংশ। সংখ্যাটিকে পড়া হয়, (৫) পাঁচ দশমিক (৮) আট (২) দুই। দশমিক বিন্দুর ডানের অঙ্কগুলো আলাদা আলাদা পড়তে হয়।

দশমিক সংখ্যার যোগের নিয়ম

ধাপ ১: দশমিক বিন্দু (.) বরাবর সংখ্যাগুলো নিচে নিচে লিখে সাজাতে হবে।

ধাপ ২: পূর্ণসংখ্যা যোগের স্বাভাবিক নিয়মেই যোগ করতে হবে।

ধাপ ৩: যোগফলের দশমিক বিন্দু (.) সংখ্যাগুলোর দশমিক বিন্দু বরাবর নিচে বসাতে হবে।

উদাহরণ

১৫.৩২ এবং ৪৮.৪৬ সংখ্যা দুইটি যোগ করম্নন।

সমাধান

দশমিক বিন্দু (.) বরাবর নিচে নিচে সংখ্যা দুইটি সাজিয়ে লিখি

দশমিকের পরে অঙ্ক সংখ্যা ভিন্ন ভিন্ন হলে ধারাবাহিকভাবে ধাপে ধাপে যোগ করতে হবে।

ধাপ ১: দশমিকের পর সর্বোচ্চ কয়টি অঙ্ক আছে তা বের করতে হবে।

ধাপ ২: দশমিকের ডান পাশে (০) শূন্য বসিয়ে দশমিকের ডান দিকের অঙ্ক সংখ্যা সমান করতে হবে।

ধাপ ৩: এরপর যোগ করতে হবে।

উদাহরণ

১.যোগ করম্নন ৭.৫ এবং ৮.৩৯

সমাধান

এখানে ৮.৩৯ সংখ্যাটিতে দশমিকের পর ২ অঙ্ক আছে। তাহলে ৭.৫ সংখ্যাটিতে .৫ এর পর একটি (০) বসাতে হবে।

২.  ৪.২৮ + ৯ + ৩.৭৩৫

উদাহরণ ২ এ ৯ সংখ্যাটিকে ‘৯’ আকারে লেখা যায়। কোনো পূর্ণ সংখ্যায় দশমিক বিন্দু না থাকলে সংখ্যার ডানে দশমিক বিন্দু বসানো যায়। এতে মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।

দশমিক সংখ্যার বিয়োগ

পূর্ণসংখ্যার বিয়োগের মতোই দশমিক সংখ্যার বিয়োগ করতে হয়। নিমণলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করলে দশমিক সংখ্যার বিয়োগ সহজ হয়-

ধাপ ১: দশমিক বিন্দু বরাবর কলাম ঠিক রেখে সংখ্যা দুটিকে নিচে নিচে সাজিয়ে নিতে হয়।

ধাপ ২: সংখ্যাগুলোর দশমিক বিন্দু বরাবর নিচে বিয়োগফলের দশমিক বিন্দু বসাতে হয়।

ধাপ ৩: পূর্ণ সংখ্যা বিয়োগের মতোই বিয়োগ করতে হবে। প্রয়োজনে দশমিকের ডানদিকে ‘০’ বসিয়ে দশমিকের ডানদিকের অঙ্ক সংখ্যা সমান করতে হবে।

নিম্নলিখিত বিয়োগগুলো করুন-

উদাহরণ

ক) ২৯.৩৪ থেকে ১৮.২১ বিয়োগ

খ)  ১৪৩.২৫ থেকে ৫৬.৭৮ বিয়োগ

৮৬.৪৭ এবং ৫৬.৭৮ যোগ করলে যোগফল ১৪৩.২৫ হবে। এর মাধ্যমে বিয়োগ সঠিক হয়েছে তা যাচাই করা যায়।

সমাধান    দশমিকের ডান দিকে ০ বসিয়ে সমতা আনায়ন করে-

ঘ) ১৫ থেকে ৫.৯৬ বিয়োগ

সমাধান

-৩

১। ক. ১৬.৩৪

     খ. ৮৯.৫২৩

     গ. ২২.২

     ঘ. ৫৪.৩

     ঙ. ১১.০৯৩

২। ক. ১৪.৪৯

     খ. ৩৪.৭০ ডলার

     গ. ৪১.১ ঘন্টা

     ঘ. ২৬.১৫ ঘন্টা

     ঙ. ১৮.৯১ ডলার

দশমিক সংখ্যার গুণ এবং ভাগ

উদ্দেশ্য- এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর দশমিক সংখ্যার গুণ এবং ভাগ করতে পারবেন।

দশমিক সংখ্যার গুণ: দশমিক সংখ্যার গুণ করার জন্য নিমণলিখিত ধাপগুলো অনুসরণ করা প্রয়োজন।

ধাপ ১: স্বাভাবিক বা পূর্ণসংখ্যার গুণের মতোই দশমিক সংখ্যার অঙ্ক গুণ করতে হয়। এক্ষেত্রে দশমিক বিন্দু       বিবেচনা করার প্রয়োজন নেই।

ধাপ ২: সংখ্যা দুইটিতে দশমিকের ডানদিকে মোট অঙ্ক সংখ্যা বের করতে হবে।

ধাপ ৩: সংখ্যা দুইটিতে দশমিকের ডানে যত অঙ্ক পাওয়া যায়, গুণফলের ডানদিক থেকে বামদিকে ঠিক ততো অঙ্ক পরে দশমিক বিন্দু বসবে। প্রয়োজনে বামদিকে (০) শূন্য বসাতে হবে।

উদাহরণ

ক) ৪.৮৩ এবং ২.৪ গুণ করম্নন।

সমাধান

ধাপ ২   ৪.৮৩ সংখ্যাটিতে দশমিকের পর ২ অঙ্ক। আর ২.৪ সংখ্যাটিতে দশমিকের পর ১ অঙ্ক আছে। তাহলে দশমিকের ডানদিকে সর্বমোট ২+১=৩ অঙ্ক।

তাহলে ৪.৮৩ এবং ২.৪ এর গুণফল ১১.৫৯২।

(খ)  ০.৮৩ এবং .০১ গুণ করূন।

সমাধান - আগের মতো গুণ করে

দশমিক সংখ্যার ভাগ

দশমিক সংখ্যার ভাগ দুই ধরনের। (১) পূর্ণসংখ্যা দিয়ে দশমিক সংখ্যাকে ভাগ (২) দশমিক সংখ্যা দিয়ে দশমিক সংখ্যাকে ভাগ।

১) পূর্ণসংখ্যা দিয়ে দশমিক সংখ্যাকে ভাগ

পূর্ণসংখ্যা দিয়ে দশমিক সংখ্যাকে ভাগের ক্ষেত্রে ভাজ্যের দশমিক বিন্দু বরাবর ভাগফলে দশমিক বিন্দু বসাতে হবে। এরপর পূর্ণসংখ্যার মতো ভাগ করতে হবে।

উদাহরন     (ক) ২১.৯৩ কে ৩ দিয়ে ভাগ করম্নন।

সমাধান

ভাজক এবং ভাগফল গুণ করলে ভাজ্য পাওয়া যায়। এখানে ভাজক ৩ এবং ভাগফল ৭.৩১ গুণ করে ভাজ্য ২১.৯৩ হয়েছে। সুতরাং এভাবে বোঝা যাবে যে, ভাগটি সঠিক হয়েছে।

খ) ১.৫ কে ৮ দ্বারা ভাগ

প্রয়োজন অনুযায়ী ভাজ্যের ডান দিকে ‘০’ বসিয়ে ভাগ করতে হবে।

নোট: ভাজ্যের দশমিকের ডান দিকে প্রয়োজন অনুযায়ী ১‘০’ বসাতে হবে যাতে ভাগশেষ ‘০’ হয়। এই অতিরিক্ত ‘০’ ভাজ্যের মানের কোনো পরিবর্তন করে না।

২) দশমিক সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ

দশমিক সংখ্যাকে দশমিক সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে নিমণলিখিত ধাপ অনুযায়ী কাজ করতে হবে।

ধাপ ১  ভাজক সংখ্যার দশমিক বিন্দু সরিয়ে একবার সংখ্যার ডানে নিতে হবে।

ধাপ ২  ভাজকের দশমিক বিন্দু যত অঙ্ক ডানে সরানো হয়েছে, ভাজ্য সংখ্যার দশমিক বিন্দুর ডানদিকে ঠিক তত অঙ্ক সরবে। প্রয়োজনে শূন্য বসাতে হবে।

ধাপ ৩  এবার আগের মতো ভাগ করতে হবে।

ধাপ ৪  ভাজ্য সংখ্যার নতুন দশমিক বিন্দু বরাবর ভাগ ফলে দশমিক বিন্দু বসাতে হবে।

উদাহরণ: (ক) ২৭.৬৯ কে .৩ দ্বারা ভাগ

১। নিচের গুণগুলো করুন-

২। নিচের ভাগগুলো করুন-

১।     ক.  ৪৬.৫৯৬২

       খ.  ০.০৮১৬

       গ.  ০.০০০০৫৬৭

       ঘ.  ৪৯৯.১২

       ঙ.  ৩.৭৫

২।    ক.  ১৪৪.১০

       খ.  ১১.২৫৮

       গ.  ৬৪০০

       ঘ.  ২৫

       ঙ.  ১৬০০

বিষয়বস্ত্ত

অ্যাসেসমেন্ট ক্রাইটেরিয়া

শর্তাবলি

প্রশিক্ষণার্থীদের নিমণলিখিত উপকরণ সরবরাহ করতে হবে-

• শিখন উপকরণ
• কার্যক্রমপত্র
• ইনফরমেশন শিট

শিখনফল : ভগ্নাংশ এবং শতকরার সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।

ভগ্নাংশের ধারণা

শিখনফল  এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনিু ১. ভগ্নাংশের ধারণা পাবেন। ২. ভগ্নাংশ কত প্রকার   তা  বলতে ও বুঝতে পারবেন। ৩. অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র এবং মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রম্নপামত্মর করতে পারবেন।

তথ্যপত্র ১.১-১। থেকে ১.১-৪ এ পূর্ণসংখ্যা আলোচনা করা হয়েছে। পূর্ণসংখ্যার অংশ বিশেষকে ভগ্নাংশ বিবেচনা করা হয়। পূর্ণসংখ্যার অংশকে দশমিকে লেখা যায়। আবার ভগ্নাংশ আকারেও লেখা যায়।

সমানভাবে বিভক্ত পূর্ণ অংশ থেকে যত অংশ বিবেচনা করা হয় তাই পূর্ণ অংশের সাপেক্ষে ভগ্নাংশ। যেমন-

উপরের  চিত্রটি  ৫টি সমান অংশে বিভক্ত। এর মধ্যে ৩টি অংশ রং করা আছে। যাকে লেখা হয় ৩/৫ এবং পড়া হয় ৫ এর ৩ ভাগ বা ৫ ভাগের ৩ ভাগ।

৩/৫ ভগ্নাংশটিতে ৩ হলো লব এবং ৫ কে বলা হয় হর। একটি পূর্ণ সংখ্যা বা জিনিসকে যতটা সমান হারে ভাগ করা হয় তাকে হর বলে। সমান ভাগ থেকে যতটি বিবেচনা করা হয় তাকে লব বলে।

ভগ্নাংশ তিন ধরনের। ১. প্রকৃত ভগ্নাংশ ২. অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ৩. মিশ্র ভগ্নাংশ।

প্রকৃত ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় হয়। যেমন- প্রকৃত ভগ্নাংশ ১/৪, ১/৩, ৩/৫, ২/৩

অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লব হরের সমান বা বৃহত্তর হয়। যেমন- অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ৮/৫, ৫/২, ৭/৪, ৬/৬

প্রকৃত ভগ্নাংশের মান ১ অপেক্ষা বৃহত্তর বা সমান।

কোনো কোনো সময় বা ক্ষেত্রে ভগ্নাংশের সাথে পূর্ণসংখ্যা থাকে। এ ধরনের ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলা হয়।

উদাহরণ

       মিশ্র ভগ্নাংশ ৩ ১/২ যা আসলে ৩ + ১/২   

ভগ্নাংশটিকে পড়া হয় ৩ পূর্ণ ২ এর ১ বা ৩ সমসত্ম ২ এর ১

উপরের চিত্র থেকে বলা যায়, মিশ্র সংখ্যা ৩ ১/২,  অপ্রকৃত ভগ্নাংশ ৭/২ এর সমান। এর অর্থ প্রতিটি মিশ্র ভগ্নাংশ একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশে পরিবর্তন করা যায়। আবার বিপরীত ক্রমে অপ্রকৃত ভগ্নাংকে মিশ্র ভগ্নাংশে পরিবর্তন করা যায়।

মিশ্র ভগ্নাংকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ

মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশের জন্য নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করম্নন-

      ধাপ-১ : মিশ্র ভগ্নাংশটির পূর্ণসংখ্যাকে ভগ্নাংশের হর দিয়ে গুণ করম্নন।

      ধাপ-২ : গুণফলের সাথে লব যোগ করম্নন।

      ধাপ-৩ : ধাপ ২ এ প্রাপ্ত যোগফল, লবে লিখুন এবং প্রকৃত হর বা প্রদত্ত হর নিচে লিখুন।

উদাহরণ ৭ কে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে প্রকাশ করম্নন।

সমাধান

অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রুপান্তর

অপ্রকৃত ভগ্নাংশের লবকে হর দ্বারা ভাগ করতে হবে। ভাগফল হবে মিশ্র পূর্ণসংখ্যা। আর ভাগশেষ হবে মিশ্র ভগ্নাংশের লব। হর অপরিবর্তিত থাকবে।

উদাহরন-   মিশ্র ভগ্নাংশ আকারে লিখুন

তাহলে ভাগফল হবে মিশ্র ভগ্নাংশের পূর্ব অংশ। ভাগশেষ হবে মিশ্র ভগ্নাংশের লব এবং ভাজক বা প্রদত্ত ভগ্নাংশের হর হবে মিশ্র ভগ্নাংশের হর।

১। সত্য- মিথ্যা : বাক্যটি সত্য হলে ‘সত্য’ না হলে ‘মিথ্যা’ লিখুন।

১. ভগ্নাংশ হলো পূর্ণসংখ্যার অংশ যা সমানভাবে বিভক্ত অংশ থেকে নেওয়া হয়।

২. ভগ্নাংশের লব, পূর্ণঅংশের সমমানে বিভক্ত যত অংশ।

৩. যদি লব, হরের সমান বা বড় হয় তাহলে ভগ্নাংশটি প্রকৃত ভগ্নাংশ।

৪. অপ্রকৃত ভগ্নাংশের মান ১ অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

৫. প্রত্যেক মিশ্র ভগ্নাংশকে একটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশে পরিবর্তন করা যায়।

 ২। নিম্নলিখিত ভগ্নাংশগুলোকে রূপান্তর করূন।

১. অপ্রকৃত ভগ্নাংশকে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর

        ২. মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর

১। সত্য বা মিথ্যা

           ক)  সত্য

           খ)  মিথ্যা

           গ)  মিথ্যা

           ঘ)  মিথ্যা

           ঙ)  সত্য

 ২।

ভগ্নাংশের গুণ এবং ভাগ

শিখনফল-    এই ইনফরমেশন শিটটি পড়া শেষে ভগ্নাংশের গুণ এবং ভাগ করতে পারবেন।

ভগ্নাংশের গুন  ভগ্নাংশের গুণ করার নিয়ম সাধারণ গুণ থেকে একটু আলাদা, কিন্তু সহজ। একাধিক ভগ্নাংশের গুণ করার ক্ষেত্রে, লবগুলোর গুণফল লবে এবং হরগুলোর গুণফল হরে বসাতে হয়। ভগ্নাংশের গুণফলকে সবসময়ই লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করতে হয়।

উদাহরণ ১

   এবং   ভগ্নাংশ দুটির গুণফল নির্ণয়।

এবার গুণফলকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করতে হবে।   এর লঘিষ্ট আকার হবে      ।

ভগ্নাংশকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করার জন্য লব ও হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করতে হয়। এতে ভগ্নাংশের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না।

উপরের উদাহরণে      সংখ্যাটির লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করা হয়েছে।

উদাহরণ ২

সমান চিহ্নগুলো মাঝের দাগ বরাবর হবে।

উপরের উদাহরণটিতে     এবং     এর মান একই।

এখানে    ভগ্নাংশটিকে ৮, ১৬ এর সর্বোচ্চ গুণনিয়ক ৮ দিয়ে ভাগ করা যায়। কোনো ভগ্নাংশকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করার জন্য লব ও হরকে লব ও হরের সর্বোচ্চ ভাজক বা লব ও হরের গসাগু দ্বারা ভাগ করতে হয়।

উদাহরণ- ৩

এবং   গুণ করুন এবং গুণফলকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করুন।

সমাধান

গুণফলকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ

 উপরের উদাহরণে ৫ সংখ্যাটি হলো সবচেয়ে বড় যা ১৫ এবং হরের সর্বোচ্চ বিভাজক বা হর।

উদাহরণ ৪

    এবং  গুণ করুন।

সমাধান

এখানে ভগ্নাংশের সাথে মিশ্র সংখ্যার গুণ করতে হবে। প্রথমে মিশ্র সংখ্যাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পরে গুণ করতে হবে।

                         মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রুপান্তর করে।

উদাহরণ -২ এর মতো গুণ করতে হবে

গুণফল অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। তাই হর দ্বারা লবকে ভাগ করে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে।

উদাহরণ- ৫

  কে ৮ দ্বারা গুণ করুন।

সমাধান

ভগ্নাংশ এবং পূর্ণসংখ্যার গুণের ক্ষেত্রে পূর্ণসংখ্যার হরে ১ বসিয়ে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করে নিতে হয়।

উপরের মতো গুণ করে

এখানে গুণফল অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। তাই একে মিশ্র ভগ্নাংশে রূপান্তর করতে হবে।

ভগ্নাংশের ভাগ

আমরা আগের আলোচনায় জেনেছি, ভাগ হলো ভাজ্য সংখ্যার মধ্যে ভাজক সংখ্যা কতবার আছে তা বের করা। ভগ্নাংশের ভাগের ক্ষেত্রেও ঠিক তাই। যেমন-   অর্থ হলো  ভগ্নাংশটি   এর মধ্যে কতবার আছে তা বের করা।

এখানে  এর মধ্যে   আছে ৪ বার।

উত্তরটি আমরা নিম্ললিখিতভাবেও পাই-

এখানে  হলো এর বিপরীত ভগ্নাংশ যাকে গুণ করা হয়েছে।

 নোট-  দুইটি ভগ্নাংশের ভাগ অর্থ হলো ভাজকের গুণাত্নক বিপরীত ভগ্নাংশকে ভাজ্য ভগ্নাংশের সাথে গুণ।

উদাহরণ-১

  কে দ্বারা ভাগ করূন এবং ভাগফলকে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করুন।

 সমাধান

উদাহরণ - ২

সমাধান

প্রথমে ৭ কে ভগ্নাংশ   আকারে প্রকাশ করতে হবে। এরপর   এর গুণাত্নক বিপরীত ভগ্নাংশ  দ্বারা গুণ করতে হবে।

                                 = ২১

১. গুণফল নির্ণয় করুন

২. ভাগফল নির্ণয় করুন।

১.

২.

 ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগ

উদ্দেশ্য- এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনি ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ করতে পারবেন।

যে সকল ভগ্নাংশের হর একই বা সমান তাদেরকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলা হয়। আবার একাধিক ভগ্নাংশের হরগুলো একই বা সমান না হলে তাদেরকে ভিন্ন হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ বলা হয়।

উদাহরণ

  খ. ভিন্ন বিশিষ্ট ভগ্নাংশ  এবং , ইত্যাদি। (এখানে সব হর ভিন্ন ভিন্ন)

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগের ক্ষেত্রে-

•     ভগ্নাংশের লবগুলোর যোগফল হবে লব।
•     সমহরটি সরাসরি যোগফলের হরে বসবে।
•      যোগফল লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করতে হবে।

উদাহরণ

মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপামত্মর করুন-

তাহলে

 সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিয়োগ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিয়োগের ক্ষেত্রে-

•          ভগ্নাংশের লবগুলোর বিয়োগফল হবে লব।
•         সমহরটি হরে বসবে।
•          বিয়োগফল লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করতে হবে।

উদাহরণ

মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করে-

ভগ্নাংশের লব এবং হরকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলে ভগ্নাংশের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। তাই ভগ্নাংশের লব ও হরকে একই সংখ্যা দিয়ে ভাগ করে লঘিষ্ট আকারে প্রকাশ করা হয়।শুধুমাত্র সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগ করা যায়। তাই ভিন্ন হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশকে সমহরে রূপান্তর করে যোগ এবং বিয়োগ করতে হয়।

দুইটি সংখ্যার লঘিষ্ট সাধারণ গুণিতক ( ল. সা. গু) একটি পূর্ণসংখ্যা যা ঐ সংখ্যা দুটি দ্বারা বিভাজ্য। যেমন-

    ৬ এর গুণিতক ৬, ১২, ১৮, ২৪,৩০, ৩৬.....ইত্যাদি

    ৯ এর গুণিতক ৯, ১৮, ২৭, ৩৬, ৪৫, ৫৪.... ইত্যাদি

গুণিতকগুলোর মধ্যে সাধারণ ও লঘিষ্ট গুণিতক ১৮, যা ৬  ও ৯ দ্বারা বিভাজ্য।

ভিন্ন হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগের ক্ষেত্রে- হরগুলোর লসাগু ভগ্নাংশগুলোর যোগ ও বিয়োগফলের হর হবে।

ভগ্নাংশের লব ও হর নির্ণয় করুন-

লব পাওয়ার জন্য ১৫ কে ৩ দ্বারা ভাগ করে ভাগফলকে প্রথম ভগ্নাংশের লব ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। তাহলে ভগ্নাংশটির লব ৫×২ =১০।

২. ভগ্নাংশটি লিখুন-

তাহলে ভগ্নাংশটির লব ২১

ভিন্ন ভিন্ন হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগ

ভিন্ন ভিন্ন হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগের ক্ষেত্রে প্রথমে, ভগ্নাংমগুলো সমহর বিশিষ্ট করে নিতে হয়। এরপর লবগুলো যোগ বা বিয়োগ করতে হয়। প্রাপ্ত সমহর যোগ বা বিয়োগ ফলের হরে বসাতে হয়।

সমাধান  

  সমাধান

          ৪ ও ৫ এর লসাগু ২০। ভগ্নাংশ দুটিকে ২০ হর বিশিষ্ট করে।

ভিন্ন হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের বিয়োগ-

উদাহরণ:  

ভগ্নাংশের যোগের মতো বিয়োগের ক্ষেত্রেও ভগ্নাংশগুলোকে সমহর বিশিষ্ট করে নিতে হবে।

১.  যোগ করুন।

২. বিয়োগ করুন।

১. 

২.

শতকরা এবং শতকরা হার

উদ্দেশ্য - এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর

১. শতকরা কী এবং শতকরা হার কী তা বলতে পারবেন।

২.   শতকরা বিষয়ক সমস্যার সমাধান করতে পারবেন।

শতকরা

শতকরা এক ধরনের ভগ্নাংশ। শতকরা পূর্ণ সংখ্যার অংশ প্রকাশ করার একটি পদ্ধতি যেখানে ভিত্তি হবে ১০০। একটি সংখ্যার ১০০% মানে, পুরো সংখ্যাটিকে বুঝায়।

যখন বলা হয়- ‘‘শতকরা ’’ তখন প্রকৃত পক্ষে বলা হয় প্রতি ১০ তে। যেমন-

একইভাবে

যেহেতু শতকরা একটি ভগ্নাংশ। তাই শতকরাকে ভগ্নাংশে শতকরা আকারে প্রকাশ করা যায়।

উদাহরণ     এবং    কে শতকরায় প্রকাশ করুন।

প্রথমে ভগ্নাংশকে ১০০ হর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রূপামত্মর করতে হয়। এরপর ভগ্নাংশের লবে মতকরা চিহ্ন দিতে হয়।

শতকরা হার

শতকরা হার হলো একটি পূর্ণসংখ্যার অংশ প্রকাশ করার পদ্ধতি। শতকরা হারে তিনটি উপাদান থাকে (ক) ভিত্তি (খ) হার (গ) শতকরা।

ভিত্তি- পূর্ণ অংশ

হার- ১০০ ভাগের এক ভাগ। একে % চিহ্ন দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

শতকরা হার- ভিত্তির সাপেক্ষে প্রতি -১০০ তে।

যেমন ১০০ এর ৫%=৫, এখানে ভিত্তি ১০০, হার ৫%, শতকরা হার- ৫

শতকরায় কাজ করতে এই তিন ( ভিত্তি, হার, শতকরা হার) ধরনের কেস বিবেচনা করতে হয়।

কেস-১. প্রদত্ত ভিত্তির সাপেক্ষে হার বের করুন। যখন ভিত্তি এবং শতকরা হার জানা-

উদাহরণ ১. ৫০ এর ৬% কত?

সুতরাং ৫০ এর ৬% = ৫০ × .০৬ = ৩

     তাহলে ৫০ এর ৬% হলো ৩

উদাহরণ ২.  ১৪০০ এর ১৬% কত?

          প্রথমে     ১৬% 

তাহলে ১৪০০ এর ১৬% 

এখানে ১৪০০ এর ১৬% হলো ২২৪

কেস ২ এবং কেস ৩ ব্যাখ্যার জন্য উদাহরণ ১ থেকে বেজকে গুণ্য, হারকে গুণক এবং শতকরা হারকে গুণফল বলা যায়। যেমন-

তাহলে গুণফলকে গুণ্য বা গুণক যেকোনো একটি দিয়ে ভাগ করলে অপরটি পাওয়া যায়। এভাবেই নিচের সমস্যা সমাধান করতে পারি।

উদাহরণ ৩.   ৬০ এর কত % = ২০

    এখানে ভিত্তি ৬০ এর শতকরা হার ২০

   তাহলে ৬০ ভিত্তি = ৬০

          হার = ?

          শতকরা হার = ২০

 গুণফল ( শতকরা হার) গুণ্য ৯ বেজ) দ্বারা ভাগ করলে গুণক ( হার) পাওয়া যায়।

উদাহরণ ৪.    ৯৬০ এর শতকরা কত = ৪৫

দেওয়া আছে ভিত্তি ৯৬০। শতকরা হার ৪৫। হার নির্ণয় করতে হবে। উপরের উদাহরণের মতো শতকরা হার ৪৫ কে ভিত্তি ৯৬০ দিয়ে ভাগ করে হার নির্ণয় করতে হবে।

০.০৪৬৯ এর দশমিক বিন্দু দুই অঙ্ক ডান দিকে সরিয়ে বা ১০০ দিয়ে গুণ করে হার নির্ণয় করা হয়েছে।

কেস ২. এর নিয়ম: হার নির্ণয় যখন বেজ এবং শতকরা হার এর মান জানা। শতকরা হারকে বেজ দিয়ে ভাগ করতে হয়। ভাগফলকে প্রথমে দশমিকে আকারে প্রকাশ করে অত:পর শতকরায় লেখা হয়।

কেস ৩. ভিত্তি নির্ণয় করুন যেখানে          

উদাহরণ ৫. কোন সংখ্যার ২৫% = ৩৫

গুণফলকে হার দিয়ে ভাগ করলে ভিত্তি পাওয়া যায়।

উদাহরণ ৬. কোন সংখ্যার ১৬% = ২৪০

        এখানে হার = ১৬%, শতকরা হার = ২৪০ এবং ভিত্তি =?

তাহলে ভিত্তি = ১৫০০

কেস ৩ এর নিয়মকে এভাবে বলা যায় যে ভিত্তি নির্ণয় করতে হবে যে হার ও শতকরা হার জানা এবং শতকরা হার দ্বারা ভাগ করতে হয়।

সমস্যাগুলোর সমাধান করুন-

        ১০০ এর ৮% কত?

          ৭৫ এর শতকরা কত = ২৪

          কোন সংখ্যার ৩০% = ২৭

  গত নির্বাচনে মোট ভোটারের ৬৪% ভোট দিয়েছে। হিসববে দেখা গেল ৩২৫ জন ভোট দিয়েছিল। মোট ভোটারের সংখ্যা কত?

  একজন পরিদর্শকের বেতন ৪৩০ ডলার। গত মাসে তার বেতন ৯% বৃদ্ধি পেয়েছে। তার বর্তমান বেতন কত?

                   ১.   ৮

                   ২.   ৩২%

                   ৩.   ৯০

                   ৪.   ২০৮

                   ৫.   ৪৬৮.৭ ডলার

শিখনফল ৩- অনুপাত এবং সমানুপাত সমস্যা সমাধান।

বিষয়বস্ত্ত

 ১.  অনুপপাত ও সমানুপাতের ধারণা।

 ২.  সমানুপাতের পদ নির্ণয়।

 ৩.  অনুপাত ও সমানুপাতের সমস্যা সমাধান।

অ্যাসেসমেন্ট ক্রাইটেরিয়া

১.  অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা বুঝতে পারবেন।

২.  সমস্যা সমাধানে অনুপাত ও সমানুপাতের হিসাব করতে পারবেন।

৩.  অনুপাত সমানুপাতের সমস্যা সমাধানে গাণিতিক সমীকরণ ব্যবহার করতে পারবেন।

শর্তাবলি

প্রশিক্ষণার্থীদের অবশ্যই নিম্নলিখিত উপকরণ সরবরাহ করতে হবে-

•       শিখন উপকরণ
•      কার্যক্রমপত্র
•     সহায়ক উপকরণ 

শিখন কার্যক্রম

শিখনফল : অনুপাত ও সমানুপাত বুঝে ব্যবহার করতে পারবেন।

অনুপাত ও সমানুপাত

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর অনুপাত এবং সমানুপাত বিষয়ক সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।

পরিসীমা

সমজাতীয় দুইটি রাশি বা একই একক ( যেমন- ফুট, মিটার, ইঞ্চি, ইত্যাদি) বিশিষ্ট দুইটি রাশির তুলনা।

দুইটি সংখ্যার বা একই একক বিশিষ্ট দুইটি রাশির মধ্যে সম্পর্কই হলো অনুপাত। অনুপাতকে তিনভাবে লেখা যায়। ক ও খ রাশি বা সংখ্যা দুটির অনুপাতকে এভাবে লেখা যায়-

ক. অনুপাত খ, বা কঃ খ বা  

          অধিকাংশ সময়ই অনুপাতকে ভগ্নাংশ আকারে লেখা হয়। যেমন-

উদাহরণ ১

          ৭ টি কলা ও ১৫ টি কলার অনুপাত

           ৭ কলাঃ ১৫ কলা

অনুপাতের ১ম পক্ষ বা রাশি সবসময়ই ভগ্নাংশের লব এবং ২য় পক্ষ বা রাশি সবসময়ই ভগ্নাংশের হর হয়।

উদাহরণ ২

 একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ৪ ফুট এবং দৈর্ঘ্য ৭ ফুট। প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত লিখুন।

          অনুপাতটি = ৪ ফুটঃ ৭ ফুট

উদাহরণ ৩  

       মিশ্র ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হয়েছে।

সমানুপাত

বীজগণিতীয় সমীকরণের একটি বিশেষরূপ হলো সমানুপাত। সমানুপাত দুইটি অনুপাতের তুলনা করে অথবা দুইটি ভগ্নাংশের সমতা তৈরি করে।

চারটি রাশির ১ম ও ২য় রাশির অনুপাত এবং ৩য় ও ৪র্থ রাশির অনুপাত সমান হলে, রাশি চারটি সমানুপাত তৈরি করে। অন্যভাবে বলা যায়, দুইটি অনুপাতের মান সমান হলে অনুপাত দুটিকে সমানুপাত বলে। যেমন-

                               ১ : ২ = ৩ : ৬

সমানুপাতের ১ম ও ৪র্থ রাশিকে প্রামত্মীয় রাশি এবং ২য় ও ৩য় রাশিকে মধ্য রাশি বলে। সমানুপাতেও সমান  ‘‘=’’ চিহ্ন ব্যবহার করা হয়।

সমানুপাতটিতে ১, ৬ এই রাশি দুটি প্রামত্মীয় রাশি এবং ২, ৩ রাশি দুটি মধ্য রাশি।

বীজ গণিতের নিয়ম অনুসারে প্রান্তীয় রাশি দুটির গুণফল এবং মধ্য রাশি দুটির গুণফলের সমান।

উপরের উদাহরণে প্রামত্মীয় রাশি ১ ও ৬ এর গুণফল মধ্য রাশি ২ ও ৩ এর গুণফলের সমান।

                   যেমন:  ১ × ৬ = ২ × ৩

                        বা  ৬ = ৬

সমানুপাতে মাঝে মধ্যে প্রামত্মীয় বা মধ্য রাশির যেকোনো একটি রাশি অনুপস্থিত থাকে। এই অনুপস্থিত রাশিকে ‘?’ প্রশ্নবোধক চিহ্ন বা চলক x দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

যেমন: 

অনুপস্থিত মধ্য রাশিকে বের করার জন্য প্রামত্মীয় রাশি দুইটির গুণফলকে উপস্থিত মধ্য রাশি দিয়ে ভাগ করতে হয়। একইভাবে অনুপস্থিত প্রামত্মীয় রাশি বের করার জন্য উপস্থিত প্রামত্মীয় রাশি দিয়ে মধ্য রাশির গুণফলকে ভাগ করা হয়।

যেমন- উপরের উদাহরণে প্রামত্মীয় রাশি অনুপন্থিত ও অপরটি ৯, এবং মধ্য রাশির গুণফল ৫ × ৯০ = ৪৫০

          অনুপস্থিত প্রামত্মীয় রাশি = 

                                   = ৫০

অনুপস্থিত রাশি নির্ণয়

উদাহরণ ১.  

মধ্য রাশি দুটির গুণফল  ৭ × ৪  = ২৮ এবং একটি প্রামত্মীয় রাশি ৮

                      তাহলে অপর প্রামত্মীয় রাশি  ২৮ ÷ ৮ = ৩.৫

 উদাহরণ ২.    

এখানে মধ্য রাশির একটি অনুপস্থিত। এই অনুপস্থিত রাশি বের করার জন্য প্রান্তীয় রাশি দুইটির গুণফলকে উপস্থিত মধ্য রাশি দিয়ে ভাগ করতে হবে।

প্রান্তীয় রাশি দুটির গুণফল  ৬ × ৩২ = ১৯২ এবং মধ্য রাশির একটি ২৪

          তাহলে অপর মধ্য রাশি ১৯২ ÷ ২৪ = ৮

উদাহরণ ৩.  হাসান ২০ মিনিটে ৫০ টি কেক ভাজতে পারে। সে ঘন্টায় কতটি কেক ভাজতে পারে সমানুপাত আকারে লিখুন।

সমানুপাত আকারে লিখলে

সমানুপাতে সবসময়ই একই একক হয়। প্রদত্ত রাশিগুলো ভিন্ন এককের হলে একই এককে রম্নপামত্মর করে নিতে হয়।

১ ঘন্টা = ৬০ মিনিট

মধ্য রাশির একটি অনুপস্থিত। এই অনুপস্থিত রাশি বের করতে প্রামত্মীয় রাশি ৫০ ও ৬০ এর গুণফলকে মধ্যরাশি ২০ দ্বারা ভাগ করতে হবে।

       ৫০ × ৬০ = ৩০০০

      ৩০০০ ÷ ২০ = ১৫০

তাহলে হাসান ১ ঘন্টায় ১৫০ টি হটকেক বানাতে পারে।

১. সত্য / মিথ্যা

   ক.  মিথ্যা

   খ. সত্য

   গ. মিথ্যা

   ঘ. সত্য

   ঙ. মিথ্যা

২. অনুপস্থিত রাশি

১. ৭.৫

২. ১৬২

৩. ১৮

৪. ৩৫ ডলার

৫. ৪৫ আউন্স

শিখনফল ৪- সমীকরণ ও সূত্র ব্যবহার করে পরিসীমা, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন পরিমাপ।

বিষয়বস্তু

১. পরিসীমা নির্ণয়ের ধারণা।

২. সমীকরণ ও সূত্র ব্যবহার করে সমতলীয় বিভিন্ন ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল নির্ণয়।

৩. গাণিতিক সমীকরণ ও সূত্র প্রয়োগ করে আয়তন নির্ণয়।

অ্যাসেসমেন্ট মানদন্ড

১. পরিসীমা, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন নির্ণয়ে গাণিতিক পদ্ধতির প্রয়োগ করতে পারবেন।

২. পরিসীমা, আয়তন ও ক্ষেত্রফল সংক্রামত্ম সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।

৩. পরিসীমা, ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয়ের ক্ষেত্রে গাণিতিক সমীকরণ ও সূত্রের ব্যবহার করতে পারবেন।

 শর্তাবলি

    প্রশিক্ষণার্থীদের অবশ্যই নিচের উপকরণসমূহ সরবরাহ করতে হবে-

•       শিখন উপকরণ
•      কার্যক্রমপত্র
•      সহায়ক উপকরণ

শিখন কার্যক্রম

শিখনফল : পরিসীমা, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন পরিমাপে সমীকরণের ব্যবহার করতে পারবেন।

পরিসীমা

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনি গাণিতিক সমীকরণ ব্যবহার করে পরিসীমা সংক্রামত্ম সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।

পরিসীমা

সমতলীয় বা দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রের সীমারেখার দৈর্ঘ্যকে পরিসীমা বলে। বৃত্ত এবং উপবৃত্তের পরিসীমাকে পরিধী বলে। আমাদের দৈনন্দিন জীবনে পরিসীমা পরিমাপের ধারণা যথেষ্ট প্রয়োজন রয়েছে। যেমন- বাগানের চারপাশের বেড়ার দৈর্ঘ্য নির্ণয়। চাকার পরিসীমা নির্ণয়। এর অর্থ হলো চাকাটি একবার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করে।

পরিসীমা হলো ক্ষেত্রের সীমারেখার দৈর্ঘ্য।

উদাহরণ-১

আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা  ৭+ ৩ +৭ + ৩ = ২০

উদাহরণ ২

                   পঞ্চভুজটির পরিসীমা ৩ + ৩ + ৩ + ৩ + ৩ = ৩ ×৫ = ১৫

পরিসীমার সূত্রসমূহ

১.ত্রিভুজ:  যে সমতলীয় চিত্রের তিনটি বাহু এবং তিনটি কোণ আছে তাই ত্রিভুজ।

ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয়ের জন্য তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে যোগ করতে হয়। পরিসীমাকে p দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

                   p = ক + খ + গ

                   এখানে

                   p = পরিসীমা

                   ক, খ এবং গ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য

উদাহরণ: ৮ মিটার, ১৭ মিটার ও ১৫ মিটার বাহুর দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

সমাধান                           পরিসীমা  = ৮ + ১৭ + ১৫

                                        = ৪০ মিটার

২ বর্গ: যে সমতলীয় চিত্রের চারটি বাহু সমান এবং চারটি সমকোণ আছে তাই বর্গ।

সমাধান   পরিসীমা = ক + ক + ক + ক

                   = ৪ × ক

উদাহরণ: ১২ মিটার বাহুর দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট বর্গের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

সমাধান:

          পরিসীমা = ৪ × ১২ মিটার

                    = ৪৮ মিটার

৩.  আয়তক্ষেত্র: যে সমতলীয় চিত্রের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমামত্মরাল এবং চারটি কোণই সমকোণ    তাই আয়তক্ষেত্র।

পরিসীমা = ২ ×  (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

 উদাহরণ: ২.৫ মিটার দৈর্ঘ্য ও ১.৭৫ মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা নির্ণয় করম্নন।

          পরিসীমা  =  ২ ×( দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)

                   = ২× (২.৫ মিটার + ১.৭৫ মিটার)

                   = ২ ×৪.২৫ মিটার

                   = ৮.৫ মিটার

৪ চতুর্ভূজ: সমতলে চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ চিত্রকে চতুর্ভূজ বলে।

              পরিসীমা = ক + খ + গ + ঘ

 উদাহরণ: ৩.৬ মিটার, ১.২ মিটার, ৫.৪ মিটার এবং ৪.৭ মিটার বাহুর দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট চতুর্ভূজের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

          পরিসীমা  = ক + খ + গ + ঘ

                    = ৩.৬ মিটার + ১.২ মিটার + ৫.৪ মিটার + ৪.৭ মিটার

                   = ১৪.৯ মিটার

৫ বৃত্ত:  কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী  বিন্দুর চলার পথকে বৃত্ত বলে।

ব্যাস : বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা- ই ব্যাস। যা বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

ব্যাসার্ধ:  কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যমত্ম দূরত্বই ব্যাসার্ধ। যা বৃত্তের ব্যাসের অর্ধেক।

পরিধি: বৃত্তের সীমারেখার দৈর্ঘ্য হলো পরিধি। বৃত্তের পরিধিকে C দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত প্রায় ৩.১৪১৬। এই সংখ্যাকে  (পাই) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এমন কোন সংখ্যা নেই যা প্রকৃত পক্ষেএর সমান। কিন্তু প্রায় সমান বলা হয়।

= ৩.১৪১৫৯২৬৫৩৫৯

 এর মান ৩.১৪ ধরে ব্যবহার করা হয়।

উদাহরণ: ক) ৬ ইঞ্চি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করুন।

সমাধান:

পরিধি = ২r

                 = ২ ( ৩.১৪) (৬ ইঞ্চি)

                 = ৩৭.৬৮ ইঞ্চি

খ) ১.৬ মিটার ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি নির্ণয় করুন।

সমাধান:

পরিধি =D

                  = ৩.১৪ ×১.৬ মিটার

                  = ৫.০২ মিটার 

নিচের সমাধানগুলো করুন -

১. একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ৫৪ মিটার এবং প্রস্থ ২৮ মিটার। বাগানটির বেড়ার দৈর্ঘ্য কত?

২. ৪ মিটার, ৮.৩ মিটার ও ৬.১ মিটার দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট ত্রির্ভূজ আকৃতির বাগানের পরিসীমা কত?

৩. একটি সাইকেলের টায়ারের ব্যাস ৩৪ সেমি. ১০,৬৭৬ সেমি. দূরত্ব অতিক্রম করতে এটি কতবার ঘুরবে।

৪. বর্গাকৃতির বাগানের এক পাশের দৈর্ঘ্য ৮২ ফুট। প্রতি ফুট বেড়া দিতে খরচ হয় ২.৭৫ ডলার। বাগানটিতে বেড়া    দিতে মোট কত খরচ হবে?

 ৫. বাস্কেট বল কোর্টের দৈর্ঘ্য ২৫ মিটার এবং প্রস্থ ১০ মিটার। কোর্টের পরিসীমা নির্ণয় করুন।

১. ১৬৪ মিটার

২. ১৮.৪ মিটার

৩. ১০০ বার

৪. ৯০২ ডলার

৫. ৭০ মিটার

ক্ষেত্রফল

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর গাণিতিক সমীকরণ ও সূত্র ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল বিষয়ক সমস্যা সমাধান করতে পারবেন।

ক্ষেত্রফল পরিমাপ

ক্ষেত্রফল পরিমাপ করা মানুষের দৈনন্দিন জীবনের একটি অপরিহার্য অংশ। দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহৃত এ ক্ষেত্রফলটি তিন বা তিন এর অধিক বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ হতে পারে। যেমন- ঘরের মেঝে, বিল্ডিং- এর ছাদ, ঘরের দরজা, জানালা এবং জমির পরিমাপ ইত্যাদি।

 আবার আমাদের কর্মক্ষেত্রেও প্রতিনিয়ত বিভিন্ন আকারের জিনিসের ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে হয়। যেমন- আসবাবপত্র তৈরির কারখানা নির্মাণ কাজ-এ ক্ষেত্রফল পরিমাপ করতে হয়।

আমত্মর্জাতিক পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল পরিমাপের একক মিটার২ । যে ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১ মিটার এবং প্রস্থ ১ মিটার তার ক্ষেত্রফল এক বর্গমিটার বা মিটার২

 সমতলীয় ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

১. বর্গক্ষেত্র    

তাহলে বর্গক্ষেত্র A = ক২

যেখানে  A = ক্ষেত্রফল

          ক = বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য

উদাহরণ-১       নিচের বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান

          ক্ষেত্রফল   =  ২২ বর্গইঞ্চি

                      = ৪ বর্গইঞ্চি

উদাহরণ ২     বর্গাকৃতি মেঝের দৈর্ঘ্য ৬০ ইঞ্চি। ১২ ইঞ্চি × ১২ ইঞ্চি টাইলস দিয়ে মেঝেটি ঢাকতে কতটি টাইলস প্রয়োজন হবে?

সমাধান

                  টাইলস এর ক্ষেত্রফল       = ( ১২ ইঞ্চি)২

                                                = ১৪৪ বর্গইঞ্চি

                বর্গাকৃতি মেঝের ক্ষেত্রফল      = ৬০ ইঞ্চি × ৬০ ইঞ্চি

                                                = ৩৬০০ বর্গইঞ্চি

এখানে মেঝের ক্ষেত্রফল ৩৬০০ বর্গ ইঞ্চি টাইলস এর ক্ষেত্রফল ১৪৪ বর্গইঞ্চি। সুতরাং মেঝেতে কতটি  টাইলস দরকার তা বের করার জন্য মেঝের ক্ষেত্রফলকে টাইলস এর ক্ষেত্রফল দ্বারা ভাগ করতে হবে।

তাহলে মেঝেটি টাইলস দিয়ে ঢাকতে টাইলস লাগবে  

২. আয়তক্ষেত্র

                   ক্ষেত্রফল  = 1 × w বা 1 × h

                             এখানে 1 = দৈর্ঘ্য

                                      w= প্রস্থ

                                        h= উচ্চতা

উদাহরণ ১: প্রদত্ত আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান          ক্ষেত্রফল          = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ

পরিসীমা

উদাহরণ ২- ৫বর্গমিটার দেওয়াল রং করতে ১ লিটার রঙ প্রয়োজন। ১০ মিটার লম্বা এবং ৪ মিটার উচ্চতা বিশিষ্ট দেওয়াল রং করতে কত লিটার রং দরকার?

সমাধান:  দেওয়ালের ক্ষেত্রফল    = দৈর্ঘ্য × উচ্চতা ( l + h)

                                      = ১০ মিটার × ৪ মিটার

                                      = ৪০ বর্গমিটার

তাহলে ৪০ বর্গমিটার রং করতে রং দরকার হবে   = ৮ লিটার।

অতএব দেওয়ালটি করতে ৮ লিটার রং প্রয়োজন।

 ৩. বৃত্ত

ক্ষেত্রফল                A   =  r2   বা 

                                                D   =  ব্যাস

                                                r    =  ব্যাসার্ধ

                                                p   =  ৩.১৪১৬                  

উদাহরণ ১ :     ৩৫ সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান

                   ক্ষেত্রফল  A     =  r2

                                                     =  ( ৩.১৪) ( ৩৫ সে.মি.) ২

                                      =  (৩.১৪) (১২২৫ ব.সে.মি.)

                                      = ৩৮৪৬.৫ বর্গসেমি.

                           তাহলে বৃত্তটির ক্ষেত্রফল  ৩৮৪৬.৫ বর্গসেমি.

 উদাহরণ ২ :     একটি গাড়ির চাকার ব্যাস ৪.৫ ফুট। চাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

সমাধান

                   ক্ষেত্রফল         

                                            =  ১৫.৯০ বর্গফুট

                           অতএব চাকার ক্ষেত্রফল  ১৫.৯০ বর্গফুট

 নিচের সমস্যাগুলোর সমাধান করুন -

 ১. প্রতি বর্গফুট মেঝে টাইলস করতে খরচ হয় ১০ ডলার। ১০ ফুট × ১৫ ফুট মেঝে টাইলস করতে কত    ডলার খরচ হবে?

 ২. একটি বাড়ির পিছনের উঠান ট্রাপিজিয়াম আকৃতির। উচ্চতা ৪৫ ফুট এবং ভূমির বহু দুইটি ৮০ ফুট এবং ১১০ ফুট। উঠানের ক্ষেত্রফল কত?

  ৩. ত্রিভূজ আকারের পতাকার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। যার ভূমি ৩২ সেমি. এবং উচ্চতা ৮৫ সেমি.।

  ৪. একটি বৃত্তাকার বাধাকপির বাগানের ব্যাস ১০০০ মিটার হলে বাগানটির ক্ষেত্রফল কত হেক্টর? ( এখানে ১ হেক্টর = ১০,০০০ বর্গমিটার।)

  ৫. ২৪ ইঞ্চি × ৩০ ইঞ্চি ফ্রেমে একটি ছবি লাগানো হলো। ছবিটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন।

১. ১,৫০০ ডলার

২. ৪,২৭৫ বর্গফুট

৩. ১৩৬০ বর্গমিটার

৪. ৭৮.৫ হেক্টর

৫. ৭২০ বর্গইঞ্চি

আয়তন পরিমাপ

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনি বিভিন্ন আকারের ঘনবস্ত্তু চিনতে ও আয়তন পরিমাপ করতে পারবেন।

আয়তন

যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা আছে তাকে ঘনবস্ত্তু বলে। ঘনবস্ত্তু যতটুকু জায়গা জুড়ে থাকে তাকে ঘনবস্ত্তুর আয়তন বলা হয়। ঘনবসত্মু নিরেট এবং ফাঁকা হয়ে থাকে।

আমত্মর্জাতিক পদ্ধতিতে আয়তন পরিমাপের একক ঘনমিটার। এর অর্থ হলো একটি ঘনবস্ত্তু যার দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা ১ মিটার এবং এর প্রতিটি কোণ ৯০।

ঘনবস্ত্তুর মৌলিক বৈশিষ্ট্য

১. প্রতিটি ঘনবস্ত্তুর আয়তন রয়েছে যা এককের উপর নির্ভরশীল।

২. দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এবং উচ্চতার গুণফলই আয়তন।

৩. সর্বসম বস্ত্তুগুলোর আয়তন সমান।

৪. মিলিত নয় এমন সকল এলাকার যোগফলই মোট আয়তন।

আয়তন নির্ণয়ের সূত্র

        আয়তকার ঘনবস্ত্তু

                V  = l × b × h

                   V  = A  h ( ভূমির ক্ষেত্রফল ×উচ্চতা )        

                     A  = l × w

 এখানে   V = আয়তন                                            

      A = ভূমির ক্ষেত্রফল

                    b  = প্রস্থ

                   l  = দৈর্ঘ্য

                   h  =  উচ্চতা

 ২. প্রিজম

        আয়তন  V = A × h

          এখানে   V = আয়তন

            A = ভূমির ক্ষেত্রফল               

                   h  = উচ্চতা

৩. বেলন

        আয়তন V = A × h

              বা   V = 

          এখানে   V =  আয়তন

A  = ভূমির ক্ষেত্রফল

h  = উচ্চতা

d  = ভূমির ব্যাস

  = পাই(৩.১৪১৬)

৪. কোণক

আয়তন   V  =    

 বা       V  =  

 এখানে    V  = আয়তন

            A  = ভূমির ক্ষেত্রফল

             h  = উচ্চতা

            d  =  ব্যাস

            r  =  ব্যাসার্ধ

            = পাই (৩.১৪১৬)

৫. গোলক  

           আয়তন V 

যেখানে   V  = আয়তন

 d  =  ব্যাস

 r  =  ব্যাসার্ধ

  = পাই (৩.১৪১৬)

সূত্র ব্যবহার করে সমস্যা সমাধান করুন।

  ১. একটি ট্রাক ৩০ ঘনফুট মাটি বহন করতে পারে। একটি জমি ৪৫ ফুট লম্বা ২৪ ফুট চওড়া এবং ৯ ফুট গভীরতায় খনন করতে ট্রাকটিকে মাটি পূর্ণ করে কতবার মাটি সরাতে হবে?

 ২. ফুট গ্যাস ভর্তি সিলিন্ডারের উচ্চতা ৭ ফুট এবং ব্যাস ৪ ফুট। প্রতিদিন ২ ঘনফুট হিসাবে ব্যবহার করলে কতদিন ব্যবহার করা যাবে?

 ৩. একটি কোণক আকৃতির পানির পাত্রের উচ্চতা ১০ ফুট এবং ভূমির ব্যাস ১৪ ফুট। পাত্রটিতে কত ঘনফুট পানি ধরবে?

 ৪. একটি কফি ক্যান এর ব্যাসার্ধ ৬.৩ সেমি এবং উচ্চতা ১৫.৮ সেমি। কফি ক্যানটির আয়তন নির্ণয় করুন।

 ৫. একটি গোলকের ব্যাস ৯৬ ইঞ্চি। গোলকটির আয়তন নির্ণয় করুন।

১. ৩২৪ বার

২. ৪৩.৯৬ দিন

৩. ৫১২.৮৬ ঘনফুট

৪. ১৯৬৯.১০ ঘনসেমি.

৫. ৪,৬৩,০১১.৮৪ ঘনইঞ্চি

শিখনফল ৫-  বিভিন্ন পদ্ধতির হিসাব এবং পরিমাপের সমতা

বিষয়বস্ত্তু

১        পরিমাপের বিভিন্ন এককের পার্থক্য।

২        বৃটিশ এককে পরিমাপ।

৩       মেট্রিক এককে হিসাব এবং অন্য একককে মেট্রিক এককের প্রকাশ।

৪        বৃটিশ ও মেট্রিক পদ্ধতির সমতা।

অ্যাসেসমেন্ট ক্রাইটেরিয়া

 ১        বিভিন্ন পদ্ধতিতে এককের পরিচিতি এবং পরিমাপ করতে পারবেন।

২        প্রয়োজন অনুযায়ী বৃটিশ এককে হিসাব করতে পারবেন।

৩       প্রয়োজন অনুযায়ী মেট্রিক এককে হিসাব করতে পারবেন।

৪        বৃটিশ ও মেট্রিক পদ্ধতির সমতার হিসাব করতে পারবেন।

শর্তাবলি

প্রশিক্ষণার্থীদের অবশ্যই নিচের উপকরণসমূহ সরবরাহ করতে হবে-

•         শিখন উপকরণ
•         কার্যক্রমপত্র
•         ইনফরমেশন শিট
• শিখন কার্যক্রম

শিখনফল : পরিমাপের বিভিন্ন পদ্ধতিতে পরিমাপের সমতার হিসাব করতে পারবেন।

বৃটিশ পদ্ধতিতে পরিমাপ

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনি বৃটিশ এককে পরিমাপের সাথে পরিচিত হবেন এবং পরিমাপ করতে পারবেন।

বৃটিশ পদ্ধতিতে পরিমাপ

মেট্রিক পদ্ধতি প্রচলনের আগে আমরা বৃটিশ পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য, ভর ও সময় পরিমাপ করতাম। বৃটিশ পদ্ধতিকে আবার ফুট পাউন্ড পদ্ধতি বলা হয়। এই পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য, ভর এবং সময়ের একক যথাক্রমে ফুট, পাউন্ড এবং সেকেন্ড। ক্ষুদ্রতর দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য ইঞ্চি এবং বৃহত্তর দৈর্ঘ্য পরিমাপের জন্য গজ ও মাইল ব্যবহার করা হয়।

বৃটিশ পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য পরিমাপের মৌলিক একক-

          ১ মাইল  =      ১৭৬০ গজ

                    =      ৫২৮০ ফুট

          ১ গজ   =       ৩ ফুট

                   =       ৩৬ ইঞ্চি

          ১ ফুট   =       ১২ ইঞ্চি

বৃটিশ পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল পরিমাপের মৌলিক একক-

          ১ টন    =       ২০০০ পাউন্ড

          ১ পাউন্ড          =      ০.০০০৫ টন

                   =       ১৬ আউন্স

          ১ আউন্স          =      ০.০৬২৫ পাউন্ড

বৃটিশ পদ্ধতিতে ওজন পরিমাপের মৌলিক একক-

          ১ বর্গফুট =      ১৪৪ বর্গইঞ্চি

          ১ বর্গগজ =      ৯ বর্গফুট

                    =      ১২৯৬ বর্গইঞ্চি

          ১ একর  =      ৪৩৫৬০ বর্গফুট

          ১ হেক্টর  =      ৬৪০ একক

বৃটিশ পদ্ধতিতে আয়তন পরিমাপের মৌলিক একক-

          ১ ঘনগজ  =    ২৭ ঘনফুট

                     =     ২০২ গ্যালন

          ১ ঘনফুট  =     ১৭২৮ ঘনইঞ্চি

                     =     ৭.৪৮ গ্যালন

          ১ গ্যালন  =     ৪ কুয়াটার

          ১ বাসেল  =     ৩২ কুয়াটার

          ১ কুয়াটার  =   ৫৭.৭৫ ঘনইঞ্চি

পরিমাপে বৃটিশ এককে রূপামত্মর

উদাহরণ- ১.     ৬ গজে কত ফুট?

                  সমাধান

                 আমরা জানি,   ১ গজ  = ৩ ফুট

                 তাহলে        ৬ গজ = ৩ × ৬

                                     = ১৮ ফুট

  ২.  ১২ ইঞ্চি  =  ১ ফুট হলে ৯৬ ইঞ্চিতে কত ফুট?

                   সমাধান

                   ১২ ইঞ্চি  =  ১ ফুট,

                   তাহলে ৯৬ ইঞ্চি  =   ফুট

                                            = ৮ ফুট

৩.    ১২ পাউন্ডকে আউন্সে পরিবর্তন করুন।

              সমাধান

                        ১ পাউন্ড  = ১৬ আউন্স

               তাহলে ১২ পাউন্ড  = ১৬ × ১২ আউন্স

                                    =  ১৯২ আউন্স

    ৪. ৩ বর্গগজে কত বর্গফুট

     সমাধান

              ১ বর্গগজ  = ৯ বর্গফুট

     তাহলে ৩ বর্গগজ   = ৯ বর্গফুট  ৩ বর্গফুট

                           = ২৭ বর্গফুট

       ৫.  একটি বস্ত্তর আয়তন ২৪ ঘনফুট । বস্ত্তটির আয়তন বর্গগজে রূপামত্মর করম্নন।

               সমাধান

              ১ ঘনগজ  = ২৭ ঘনফুট

        তাহলে ২৪ ঘনফুট  = ঘনগজ

                              = ০.৮৮ ঘনগজ

বহু নির্বাচনী

নির্দেশনা : সমস্যাটি ভালোভাবে পড়ুন। সঠিক উত্তর বের করুন। এরপর উত্তরপত্রে লিখুন।

১. কত পাউন্ডে ৬০ কিলোগ্রাম?

ক. ১৩০ পাউন্ড

খ. ১৩২.৩ পাউন্ড

গ. ১৩৩.৫ পাউন্ড

ঘ. ১৩৫ পাউন্ড

 ২.  ১ পাউন্ড = ১৬ আউন্স এবং ১ কিলোগ্রাম = ২.২০৫ পাউন্ড হলে কত কিলোগ্রাম ৯৬ আউন্সের সমান?

      ক. ১.৮৫ কিলোগ্রাম

      খ. ১.৯৩ কিলোগ্রাম

      গ. ২.৫০ কিলোগ্রাম

      ঘ. ২.৭২ কিলোগ্রাম

 ৩.  বৃটিশ পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য, ভর ও সময়ের একক

      ক. ইঞ্চি, পাউন্ড, সেকেন্ড

      খ. মিটার, পাউন্ড, সেকেন্ড

      গ. ইঞ্চি, কিলোগ্রাম, সেকেন্ড

      ঘ. মিটার, কিলোগ্রাম, সেকেন্ড

 ৪.  ৬ টি স্টিলের পাতের মধ্যে ৩টি পাত হলো ৪ ফুট × ৪ ফুট, ২টি পাত হলো ৪ ফুট × ৬ ফুট এবং ১ টি পাত হলো ২ ফুট × ৬ ফুট। ৬ টি পাতের মোট ক্ষেত্রফল কত?

      ক. ৪৮ বর্গফুট

      খ. ৬০ বর্গফুট

      গ. ৭২ বর্গফুট

      ঘ. ১০৮ বর্গফুট

৫. একটি সিলিন্ডার আকারের রঙ এর বালতি। বালতির ব্যাস ১২ ইঞ্চি এবং উচ্চতা ১৫ ইঞ্চি। বালতিটির আয়তন কত?

       ক. ১.০ ঘনফুট

       খ. ১.২৫ ঘনফুট

       গ. ১.৫ ঘনফুট

       ঘ. ১.৭৫ ঘনফুট

১.                    খ

২.                    ঘ

৩.                   ক

৪.                    ঘ

৫.                   গ

বহু নির্বাচনী

নির্দেশনা : সমস্যাগুলো ভালোভাবে বিশ্লেষণ করুন। এরপর সঠিক উত্তর বের করে উত্তরপত্রে লিখুন।

১. একটি স্টিলের চ্যানেলের দৈর্ঘ্য ২২ মিলিমিটার। চ্যানেলের দৈর্ঘ্যকে সেমিতে প্রকাশ করলে-

ক. ০.২২ সেমি

খ. ২.০২ সেমি

গ. ২.২০ সেমি

ঘ. ২.২২ সেমি

   ২. দৈর্ঘ্য পরিমাপের মৌলিক আন্তর্জাতিক একক-

          ক. মিটার

          খ. মিলিমিটার

          গ. সেন্টিমিটার

          ঘ. কিলোমিটার

   ৩. মেট্রিক পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য, ভর এবং সময় পরিমাপের মৌলিক একক

          ক. ইঞ্চি, পাউন্ড, সেকেন্ড

          খ. ইঞ্চি, কিলোগ্রাম, সেকেন্ড

          গ. মিটার, পাউন্ড, সেকেন্ড

          ঘ. মিটার, কিলোগ্রাম, সেকেন্ড

    ৪. চিত্রে দুই প্রান্তে পাত লাগানো একটি পাইপ দেখা যাচ্ছে-

(i)  পাইপের দৈর্ঘ্য কত মিলিমিটার-

ক. ২১৮৪.৪০ সেমি

খ. ২১৮৪.৪৪ সেমি

গ. ২১৮৪৪ মিমি

ঘ. ২১৮৪৪.৪ মিমি

 (ii)   পেটের পুরত্ব কত মিলিমিটার

          ক. ২.৫৪ মিমি

          খ. ২.৪৫ মিমি

          গ. ২৫.৪ মিমি

          ঘ. ২৫৪ মিমি

 (iii) মোট দৈর্ঘ্য কত মিটার

          ক. ২.২৩ মিটার

          খ. ২.৩৫ মিটার

          গ. ২.৫৫ মিটার

          ঘ. ২.২৫ মিটার

১.  গ

 ২.  ক

 ৩.  ঘ

 ১.  (i)  ক

(ii) গ

(iii) ক

   বৃটিশ এবং মেট্রিক পদ্ধতির সমতা

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনি বৃটিশ ও মেট্রিক পদ্ধতিতে পরিমাপের একক রূপান্তর করে হিসাব করতে পারবেন।

বৃটিশ এবং মেট্রিক পদ্ধতির সমতা

বসত্মুর দৈর্ঘ্য, ভর পরিমাপের জন্য বৃটিশ পদ্ধতি অথবা মেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। তবে কখনও এক সাথে দুইটি পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় না। পরিমাপের ক্ষেত্রে এক পদ্ধতির একক থেকে অন্য পদ্ধতির এককে রূপান্তর করতে হয়।

বৃটিশ ও মেট্রিক পদ্ধতিতে দৈর্ঘ্য ও ওজন পরিমাপের মৌলিক একক-

        ১ কিলোমিটার (কিমি)   = ০.৬২১৩৭ মাইল

          ১ মিটার                             = ১.০৯৩৬১ গজ

                                      = ৩.২৮০৮৪ ফুট

                                      = ৩৯.৩৭০ ইঞ্চি

          ১ সেন্টিমিটার  সেমি)     = ০.৩৯৩৭০ ইঞ্চি

          ১ মিলিমিটার (মিমি)     = ০.০৩৯৩৭০ ইঞ্চি

          ১ মাইল                    = ১.৬০৯ কিলোমিটার (কিমি)

          ১ গজ                      = ০.৯১৪৪ মিটার (মি.)

          ১ ফুট                      = ০.৩০৪৮ মিটার (মি.)

          ১ ইঞ্চি                     = ২.৫৪ সেন্টিমিটার  সেমি)

                                      = ২৫.৪ মিলিমিটার (মিমি)

বৃটিশ ও মেট্রিক পদ্ধতিতে ওজন পরিমাপের মৌলিক একক-

          ১ কিলোগ্রাম               = ২.২০৫ পাউন্ড

          ১০০০ কিলোগ্রাম         = ১.১০২ টন

          ১.১০২ টন                 = ২২০৪.৬২১ পাউন্ড

বৃটিশ ও মেট্রিক এককের রুপান্তর

উদাহরণ

১.        ৩.০ মিটারকে ফুটে প্রকাশ করুন।

সমাধান

          ১ মিটার                   = ৩.২৮০৮৪ ফুট

তাহলে ৩.০ মিটার       = ৩.০ × ৩.২৮০৮৪ ফুট

                             = ৯.৮৪২৫২ ফুট

  ২.        ৩ ফুটে কত সেন্টিমিটার?

সমাধান

          ১ ফুট   = ১২ ইঞ্চি

          ১ ইঞ্চি  = ২.৫৪ সেন্টিমিটার

তাহলে ৩ ফুট    = ৩ ×১২ ×২.৫৪ সেন্টিমিটার

                   = ৯১.৪৪ সেন্টিমিটার

৩.        কত ইঞ্চিতে ১.২০ মিটার?

সমাধান

          ১ মিটার          = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি

     তাহলে ১.২০ মিটার  = ১.২০ × ৩৯.৩৭ ইঞ্চি

                             = ৪৭.২৪৪ ইঞ্চি

৪.       ২.৫৪ সেন্টিমিটার =১ ইঞ্চি হলে, ১২ ইঞ্চিতে কত মিলিমিটার?

সমাধান

          ১ ইঞ্চি            = ২.৫৪ সেন্টিমিটার

          ১ সেন্টিমিটার    = ১০ মিলিমিটার

                             = ২.৫৪ × ১০ মিলিমিটার

                             = ২৫.৪ মিলিমিটার

তাহলে ১২ ইঞ্চি           = ১২ ×২৫.৪ মিলিমিটার

৫.        ২.৫ কিলোগ্রামকে পাউন্ডে রুপান্তর করুন।

সমাধান

          ১ কিলোগ্রাম     = ২.২০৫ পাউন্ড

তাহলে ২.৫ কিলোগ্রাম   = ২.৫ × ২.২০৫ পাউন্ড

                             = ৫.৫১২৫ পাউন্ড

৬.       ১ কিলোগ্রাম কত আউন্সের সমান?

সমাধান

          ১ কিলোগ্রাম     = ২.২০৫ পাউন্ড

          ১ পাউন্ড                   = ১৬ আউন্স

সুতরাং ১ কিলোগ্রাম      = ২.২০৫ × ১৬ আউন্স

                             = ৩৫.২৮ আউন্স

নির্দেশনা

নিচের সমস্যা সমাধান করুন-

১.        স্বাস্থ্য সুরক্ষার জন্য ৫ মাইলের একটি দৌড় প্রতিযোগিতার আয়োজন করা হলো। অংশগ্রহণকারীরা গড়ে ১ ধাপে ০.৮ মিটার যেতে পারে। তাহলে অংশগ্রহণকারীরা দৌড় সম্পন্ন করতে কত ধাপ দিবে?

২.        ওয়ার্কশপে ৩টি স্টিলের পাত ঝালাই করা হয়। প্রতিটি পাতের সাইজ ৪ ফুট ×৬ ফুট হলে ৩টি পাতের মোট ক্ষেত্রফল কত?

৩.       রুপান্তর করুন।

ক. ২২৫০ মিটার =............................ ফুট

খ. ৩.৫ কিলোগ্রাম = ......................... আউন্স

গ. ১২ ঘনমিটার   = ........................ ঘনফুট

  ৪. চিত্র অনুসারে কোন অংশের কোন অংশের জন্য কী পরিমাণ উপকরণ দরকার তা বের করুন।

একজন ওয়েল্ডিং মিস্ত্রি ঢালাই করে এরূপ ২০টি টেবিলের ফ্রেম তৈরি করল।

 ক. অংশ ক- এর জন্য কত সেন্টিমিটার বর্গাকার স্টিলের টিউব প্রয়োজন হবে?

 খ. অংশ খ- এর জন্য কত সেন্টিমিটার বর্গাকার স্টিলের টিউব প্রয়োজন হবে?

 গ. অংশ গ- এর জন্য কত মিটার বর্গাকার টিউব প্রয়োজন হবে?

 ঘ. ২০ টি টেবিলের ফ্রেম তৈরী করতে কতটি বর্গাকার স্টিলের পাত দরকার। এখানে পাতের দৈর্ঘ্য ৬ মিটার।

১. ১০০৫৬.২৫ ধাপ

২. ৭২ বর্গফুট

৩. (ক) ৭৩৮১.৮৯ ফুট

(খ)  ১২৩.৪৮ আউন্স

(গ)  ৪২৩.৭৮ ঘনফুট

   ৪. (ক)  ৫৩৩৪ সেন্টিমিটার

       (খ)  ৩১২৪.২ সেন্টিমিটার

       (গ)  ৬৪.৫১২৮৫১৭৭ মিটার

       (ঘ)  ২৫ টি

শিখনফল ৬ - কর্মক্ষেত্রে গ্রাফ, চার্ট এবং টেবিলের মাধ্যমে তথ্য উপাত্ত উপস্থাপন।

বিষয়বস্তু

১        গ্রাফ ও চার্টের ব্যবহার সম্পর্কে ধারণা।

২        গ্রাফ ও চার্টের মাধ্যমে কর্মক্ষেত্রের তথ্য উপস্থাপন করা।

৩       গ্রাফ ও চার্ট এর মাধ্যমে তথ্য উপস্থাপন এবং ব্যাখ্যা করা।

অ্যাসেসমেন্ট ক্রাইটেরিয়া

১        প্রত্যেকটি গ্রাফ ও চার্ট চিনতে ও ব্যবহার করতে পারবেন।

২        প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী সঠিক গ্রাফ ও চার্ট তৈরি করতে পারবেন।

৩       গ্রাফ ও চার্টের মাধ্যমে তথ্য উপস্থাপন ও ব্যাখ্যা করতে পারবেন।

শর্তাবলি

        প্রশিক্ষণার্থীদের অবশ্যই নিমেণাক্ত উপকরণসমূহ সরবরাহ করতে হবে।

•         শিখন উপকরণ
•         কার্যক্রমপত্র
•         সহায়ক উপকরণ

শিখন কার্যক্রম

শিখনফল : কর্মক্ষেত্রে গ্রাফ, চার্ট এবং টেবিলের মাধ্যমে তথ্য উপস্থাপন এবং ব্যাখ্যা করতে পারবেন।

উদ্দেশ্য

এই ইনফরমেশন শিটটি পড়ার পর আপনি গ্রাফ ও চার্ট তৈরি ও ব্যাখ্যা করতে পারবেন।

গ্রাফ

একটি ছবি হাজার শব্দের চেয়ে উত্তম। বাক্যটি তথ্য উপস্থাপন ও ব্যাখ্যার জন্য সত্য। টেবিল বা ছকের মাধ্যমে সংখ্যা, শতকরা হার, পারস্পরিক সম্পর্ক দেখানো যায়। কিন্তু কখনো কখনো উপস্থাপনের সময় আপনার একটি পয়েন্ট ছুটে যেতে পারে। তবে গ্রাফ ও চার্টের মাধ্যমে উপস্থাপন করলে আপনি অল্প কথাতেই পুরোপুরি ধারণা দিতে পারেন।

গ্রাফ ও চার্টের কোনো বিষয়কে দ্রুত বুঝাতে সহায়তা করে। যখন কোনো কিছু তুলনা, সম্পর্ক বা হাইলাইট ইত্যাদি সম্পর্কে আপনি কি বলেছেন তা শ্রোতাদের বুঝতে সহায়তা করে।

বিভিন্ন ধরনের চার্ট ও গ্রাফ রয়েছে। সেখান থেকে কোন চার্টটি আপনি নিবেন তা পছন্দ করা একটু কঠিন। কম্পিউটারে স্প্রেডশিট প্রোগ্রামে ক্লিক করলে বিভিন্ন ধরনের চার্ট বা গ্রাফ পাওয়া যাবে। তবে কোনটি সঠিক তা নির্বাচন করতে হবে সংগ্রহ করা ডাটা অনুসারে।

প্রবণতা দেখানোর জন্য ‘‘বার গ্রাফ’’ ব্যবহার করতে পারেন। বিক্রয়ের তথ্য দেখানোর জন্য ‘‘লাইন গ্রাফ’’ ব্যবহার করতে পারেন। শতকরা বা অংশ বুঝানোর জন্য পাইচার্ট ব্যবহার করা উচিত। স্প্রেডশিটে গ্রাফ ও চার্টে আপনি যেকোনো কিছু দেখাতে বা কলতে পারেন। তবে মনে রাখবেন, চার্ট ও গ্রাফ শুধুমাত্র নির্দেশনানুসারে কাজ করে।

সঠিকভাবে তথ্য উপস্থাপনের জন্য গ্রাফ, চার্ট ও ডায়াগ্রাম সম্পর্কে ভালো ধারণা থাকতে হবে। এখানে চারটি গ্রাফ দেখানো হলো-

•         লাইন গ্রাফ
•         বার গ্রাফ
•         পাই চার্ট
•         ভেনচিত্র

প্রথমে কিছু প্রয়োজনীয় মৌলিক ধারণা দিয়ে শূরু করছি

X  এবং  Y অক্ষ;

পাইচার্ট ছাড়া যেকোনো গ্রাফ ও চার্টে তথ্য করা হয় উপস্থাপন যা চিত্র -১ এ দেখানো হলো।

টিপস

 X অক্ষ ও Y অক্ষ মনে রাখার জন্য ভাবুন X অক্ষ ভূমি বরাবর এবং Y অক্ষ উলম্ব বা উপরের দিকে।

যখন গ্রাফের তথ্য স্থাপন করবেন খেয়াল রাখুন গ্রাফে জানা মানগুলো  X অক্ষ বরাবর এবং যা নির্ণয় করতে হবে তা Y অক্ষ বরাবর বসাতে হয়।

উদাহরণ- মনে করুন কয়েক মাসের গড় তাপমাত্রা বের করতে হবে। এবার আপনাকে চিত্র ২ এর মত করে অক্ষ নির্ধারণ করতে হবে এবং অক্ষ বরাবর মানগুলো বসাতে হবে।

লাইন গ্রাফ  (রৈখিক গ্রাফ

রৈখিক গ্রাফ বহুল প্রচলিত একটি গ্রাফ। গ্রাফে যে তথ্য উপস্থাপন করা হবে তা রেখার মাধ্যমে সংযোগ করতে হবে। এর মাধ্যমে দু’টি চলকের প্রবণতা দেখানো হলো। যেখানে চলক দুটি একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত।

আপনি রৈখিক গ্রাফ তখনই ব্যবহার করতে পারবেন যখন চলককে‘ X অক্ষ’ বরাবর স্থাপন করবেন। যেমন- সময়, তাপমাত্রা, দূরত্ব ইত্যাদি ক্ষেত্রে।

নোট: যখন ‘Y অক্ষ’ পরিমাণ বা শতকরা নির্দেশ করে এবং ‘ X অক্ষ’ নির্দেশ করে সময়ের একক রৈখিক গ্রাফকে টাইম সিরিজ গ্রাফ বলা হয়। তখন রৈখিক গ্রাফ হবে টাইম সিরিজ গ্রাফ।

উদাহরণ : এবিসি কোম্পানি সারা বছর ধরে বিক্রয় কার্যক্রম পরিচালনা করছে। তাদের বিক্রয় মাস অনুযায়ী রৈখিক গ্রাফে দেখানো হলো। বছরের যেকোনো সময়ের বিক্রি বৃদ্ধি বা হ্রাসের প্রবণতা বেশি অথবা কম তা সহজেই দেখা যায়। যেমন- চিত্র-৩ দেখুন।

রৈখিক গ্রাফে এক সাথে একাধিক একই জাতীয় তথ্য দেখানো যায়। রৈখিক গ্রাফ বহুবিধ ধারায় অঙ্কন করা যায়। উলেস্নখিত উদাহরণে বিভিন্ন পণ্যের জন্য স্টোর এর অবস্থানের প্রবণতা দেখানো হলো। (চিত্র-৪) যদি একই গ্রাফে একাধিক প্রবণতা দেখানো যায় তাহলে তুলনা করা সহজ হয়।

বার গ্রাফ

বিভিন্ন তথ্য এবং এদের তুলনা বার গ্রাফের মাধ্যমে দেখানো যায়। সবচেয়ে উঁচু বা লম্বা বার সর্বোচ্চ মান নির্দেশ করে। নিচু বা ছোট বার সর্বনিম্ন মান বুঝায়।

উদাহরণ : এবিসি কোম্পানি আলফা, পাটিনাম ও ডিলাক্স মডেলের পণ্য বিগত তিন বছর ধরে বিক্রি করছে। বিক্রয় প্রবণতা দেখানোর জন্য তথ্যগুলো গ্রাফের মাধ্যমে (চিত্র-৫) দেখা গেল। ডিলাক্স মডেলের বিক্রয় ২০০৪, ২০০৫ এবং ২০০৮ সালে কমে আসছে। অপর দুইটি মডেলের বিক্রয় ক্রমান্বয়ে বৃদ্ধির দিকে। কোম্পানিকে ডিলাক্স মডেলের পণ্য বিক্রয়ের জন্য উদ্যোগ গ্রহণ করতে হবে।

উপরের তথ্যগুলো রৈখিক গ্রাফের মাধ্যমেও  দেখানো যায়। চিত্র -৬ এ চিত্র -৫ এর তথ্যগুলো রৈখিক গ্রাফে দেখানো হলো।

এই উদাহরণ থেকে দেখা যায় প্রকৃতপক্ষে রৈখিক গ্রাফ এবং বার গ্রাফের তুলনায় ভালো কাজ করে। কিন্তু যদি ৩টি মডেল এর পরিবর্তে ২০টি হয় তাহলে উপস্থাপন একটু জটিল হয়। তথ্য উপস্থাপনের জন্য কখনও রৈখিক গ্রাফ আবার কখনও বার গ্রাফ ব্যবহার করা হয়।

 যদি তথ্যগুলো বিচ্ছিন্ন হয় তাহলে শুধুমাত্র বার গ্রাফ ব্যবহার করতে হবে। অবিচ্ছিন্ন তথ্য উপস্থাপনের জন্য রৈখিক গ্রাফ ব্যবহার করা হয়।

বার গ্রাফকে আনুভুমিক বরাবরও দেখানো যায়। যেমন- চিত্র-৭ এ তা দেখানো হয়েছে।

নোট : বার গ্রাফ ও হিস্টোগ্রাম এক নয়। কারণ হিস্টোগ্রামের বারের প্রস্থ নির্ভর করে X অক্সের চলকের উপর। যেমন : (০,২), (৩,১০), (১১,২০), (২০,৪০) ইত্যাদি। বার গ্রাফে বারের উচ্চতা মান নির্দেশ করে।

পাই চার্ট

পাই চার্ট একটি অংশ ও তার পূর্ণঅংশের সাথে তুলনা করে। পাই চার্ট শতকরা অংশে ভাগ করে দেখানো হয়। সমগ্র পাই মোট তথ্যকে বুঝায়। আর এর বিভিন্ন অংশ, আংশিক তথ্যকে বুঝায়।

শতকরা অংশ বের করে পাই চার্ট অঙ্কন করতে হয়। পাই চার্টে সর্বদা একই একক ব্যবহার হয়। অন্যথায় কোনো অর্থ প্রকাশ করে না। এবিসি কোম্পানি বিক্রয় চিত্র-৮ এ পাই চার্টে দেখানো হলো-

পরামর্শ-১:  সাধারণত পাই চার্টে ৬ অংশের বেশি হলে বুঝতে সমস্যা হয়। সেক্ষেত্রে বার গ্রাফ ব্যবহার করা যায়।

পরামর্শ-২: কোনো অংশকে বিশেষভাবে দেখাতে চাইলে চাইলে মূল পাই থেকে আলাদা রঙ করে বুঝানো যেতে পারে। এটা সহজে নজরে পড়ে।

পরামর্শ-৩: সবক্ষেত্রেই পাই চার্ট ব্যবহার উপযোগী নাও হতে পারে। পাই চার্টেরও কিছু সীমাবদ্ধতা রয়েছে। কোনো কোনো ক্ষেত্রে চার্টও ভুল বুঝাতে পারে।

ভেন ডায়াগ্রাম

গণিতবিদ জন ভেন ১৮৮১ সালে ভেন ডায়াগ্রাম আবিষ্কার করেন। ভেন ডায়াগ্রাম মূলত পারস্পরিক সম্পর্কযুক্তভাবে ঘটে যাওয়ার পরের তথ্য উপস্থাপনে ব্যবহার করা হয়।

বৃত্ত দ্বারা প্রতিটি তথ্য সেট বুঝানো হয়। এক সেটের তথ্য অন্য সেট তথ্যের সাথে কতটা সম্পর্কযুক্ত তা বৃত্তের অংশ অঙ্কন করে বোঝানো যায়। যুগপৎ করে যেমন- চিত্র-৯ এ পারফেক্ট প্রিন্টিং এর তিনটি পন্য ( স্টেশনারি প্রিন্টিং, নিউজ লেটার প্রিন্টিং এবং অন্যান্য) বিক্রি দেখানো হলো।

ভেন ডায়াগ্রাম থেকে, গ্রাহকদের ৫৫% পারফেক্ট প্রিন্টিং থেকে তাদের কোম্পানির স্টেশনারি প্রিন্টিং করে থাকে। নিউজলেটার এবং প্রোমোশাল আইটেম এই তুলনায় কম। তাই পারফেক্ট প্রিন্ট নিউজ লেটার ও প্রোমোশনাল আইটেমের ক্ষেত্রে প্রচার ও প্রসারের জন্য বা বাজার সম্প্রসারণ কর্মসূচি গ্রহণ করতে পারেন।

ভেন ডায়াগ্রাম একই সাথে সংঘটিত তথ্য উপস্থাপন ও ব্যাখ্যার জন্য ব্যবহার করা হয়।

১. সত্য

 ২. মিথ্যা

 ৩. মিথ্যা

 ৪. সত্য

 ৫. সত্য

কার্যক্রমপত্র ১.৬-১

বিষয়     :  রৈখিক গ্রাফ

উপকরণ :  গ্রাফ পেপার, স্কেল, কলম ও পেন্সিল

পদ্ধতি

 ১. রেজিস্টার অফিস থেকে গত ৫ বছরের ছাত্র ভর্তির সংখ্যা জেনে নিন।

 ২. গ্রাফ পেপারে X অক্ষ ও Y অক্ষ অঙ্কন করুন।

 ৩. নিয়ম অনুযায়ী একক নির্ধারণ করুন।

 ৪. গ্রাফে বছরভিত্তিক তালিকা স্থাপন করুন এবং ছেদ বিন্দু বের করুন।

 ৫. ছেদ বিন্দু দিয়ে রেখা টানুন।

 ৬. গ্রাফ থেকে ফলাফল বের করুন।

নিম্নলিখিত প্রশ্নের উত্তর ফলাফলে অবশ্যই থাকবে-

 ১. কোন বছর সবচেয়ে কম তালিকাভূক্ত হয়েছে?

 ২. কোন বছর সবচেয়ে বেশি তালিকাভূক্ত হয়েছে?

 ৩. পাঁচ বছর পূর্বে কতজন ছাত্র ভর্তি হয়েছিল?

 ৪. বিগত ৫ বছরে ছাত্র ভর্তির প্রবণতা কী ছিল?

কার্যক্রমপত্র ১.৬-২

বিষয়         :  বার গ্রাফ

 উপকরণ    :  গ্রাফ পেপার, স্কেল, কলম ও পেন্সিল

তথ্যের উৎস : যোগ্যতাভিত্তিক পাশ নিম্নরূপ-

                   ১৮ জন ব্রেকিং- এনসি লেভেল ২

                   ২৩ জন এসএমএডবিউ লেভেল ২

                   ১৪ জন খাদ্য প্রস্তুত - লেভেল ২

                   ২১ জন চামড়াজাতদ্রব্য প্রস্তুত - লেভেল ২

                   ২৪ জন ওয়েব ডিজাইন - লেভেল ২

পদ্ধতি

 ১. উপরের তথ্য থেকে বার গ্রাফ অঙ্কন করম্নন।

 ২. চলকের মানগুলো নিয়ম অনুযায়ী  X অক্ষ ও Y অক্ষ ঠিক করুন।

 ৩. যারা পাশ করেছে তাদের সংখ্যা স্থাপন করুন।

 ৪. ফলাফল বের করুন।

 ফলাফলে অবশ্যই নিমণলিখিত প্রশ্নের উত্তর থাকবে-

 ১. কোন যোগ্যতার শিক্ষার্থী বেশি সংখ্যক পাশ করেছে?

 ২. কোন যোগ্যতার শিক্ষার্থী কম সংখ্যক পাশ করেছে?

 ৩. বেকিং ও ওয়েব ডিজাইনের মধ্যে কোনটিতে বেশি পাশ করেছে?

কার্যক্রমপত্র - ১.৬-৩

বিষয়      : পাই চার্ট

উপকরণ  : গ্রাফ পেপার, চাঁদা, স্কেল, কলম ও পেন্সিল

পদ্ধতি

 ১. নিম্নলিখিত তথ্যের ভিত্তিতে পাই চার্ট অঙ্কন করুন।

২. ফলাফল বিশ্লেষণ করুন।

কার্যসম্পাদন মানদন্ডের তালিকা

যোগ্যতাসমূহের পুনরালোচনা

নিচে গাণিতিক মৌলিক ধারণা ব্যবহার মডিউলের কার্যসম্পাদন মানদন্ডের তালিকা উল্লেখ করা হলো।

এখন আমি আনুষ্ঠানিক যোগ্যতার মূল্যায়নে নিজেকে প্রস্তুত মনে করছি।

স্বাক্ষর :                                                                                      তারিখ :

রেফারেন্স

রেফারেন্স

1.     CBLM  in  Welding, TESDA, philippines

2.     C. Ortiz Munsays. Measurement in Metric with The SI System for High School  and  College  Student. TRU-COPY  publishing  House, Inc. Hiyas Homes Subdivision pearl Cor. Sapphire Sts. Bo. Parada, Valenzuela, Metro Manila. Second printing 1998.

3.     Miller, Salzman Lial. Basic College Mathematics. Third Edition. HaperCollins publishers Inc. 10 East 53rd Street, New York, NY 10022.1991

4.     http://www.mindtools.com

http://www.mathsisfun.com